INDICE:

CAPITULO I
Teoría de conjuntos…………………………………….……………………………………………3 1. Conjuntos……………………………………………….……………………………………………3 * Cardinalidad……………………………………………………………………….……………3 * Clases de Conjuntos……………………………………………………………….……5-7 * Relaciones entre Conjuntos……………………………………………………………………..7 Subconjuntos……………………………………………………………………………….……..7 Igualdad………………………………………………………………………………………………8 Conjuntos Disjuntos………………………………………….…………………………………8 Intersecantes………………………………………………………………………………………9
2. Operaciones con Conjuntos……………………………………………………..……………9 * Unión……………………………………………………………………………………….………9 * Intersección…………………………………………………………………………..…………9 * Diferencia……………………………………………………………………………….………10 * Diferencia Simétrica……………………………………………………………….………10 * Complemento…………………………………………………………………………………11 * Producto Cartesiano…………………………………………………………………….…12
3. Álgebra de Conjuntos……………………………………………….…………………………12 * Leyes de las Operaciones entre Conjuntos………..……………………………12
CAPITULO II
Ejercicios de Aplicación………………………………………………………………………13-25
CAPITULO III
Bibliografía……………………………………..…………………………………………………………26

CAPITULO I
TEORIA DE CONJUNTOS 1. Conjuntos
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.
La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c,..., x, y, z. que se puede escribir así: 2. { a, b, c, ..., x, y, z} 3.
Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}), o separados por comas (,). * CARDINALIDAD
La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo # y corresponde al número de elementos que tiene el conjunto. Si dos conjuntos tienen el mismo número de elementos se dice que tienen la misma cardinalidad. (En combinatoria es importante saber si dos conjuntos tienen la misma cardinalidad. El método usado para ello es establecer una biyección entre los dos conjuntos.)
Los conjuntos pueden clasificarse de acuerdo a su cardinalidad como: finitos o infinitos * Todo conjunto finito es contable (enumerable), es decir sus elementos pueden ser ordenados. * Los conjuntos infinitos en cambio pueden ser contables o no contables. Por ejemplo los enteros y los reales son conjuntos infinitos, sin embargo los enteros son contables y los reales no.

Por ejemplo:
W = {$, %, &, /, ª } El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad es 5 (# = 5 )

Q = | | El conjunto Q está formado por 3 elementos | | | |

# Q = 3 K = | | El conjunto K tiene un elemento |

# K= 1

* CLASES DE CONJUNTOS
Las clases de conjuntos son:

1) Conjunto Finito:
Cuando los miembros o elementos del conjunto se pueden contar o enumerar. Por ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto es un conjunto finito que expresado por comprensión es:
A = {x/x son las letras del alfabeto castellano}

2) Conjunto Infinito:
Cuando los elementos o miembros no se pueden enumerar o contar, se considera como conjunto infinito.
Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos infinitos siempre deberán determinarse por comprensión; para el ejemplo:
B = {x/x son las estrellas del universo

3) Conjunto Unitario:
Es el conjunto que tiene un solo miembro o elemento. Un ejemplo:
C = {luna}

4) Conjunto Vacío:
Se trata del conjunto que no tiene elementos, o que estos son inexistentes, ejemplos:
D = {x/x son perros con alas}
E = { }
Se considera el conjunto vacío como subconjunto de cualquier conjunto.

5) Conjunto Universal o Referencial:
Se llama así al conjunto conformado por los miembros o elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterización.
Por ejemplo, dados:
A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4} C = {6, 7, 8, 9}
El conjunto universal o referencial es:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

6) Conjuntos disyuntos o disjuntos
Son aquellos conjuntos que no tienen ningún miembro o elemento en común. Otra forma de expresarlos es decir que la intersección de dos o más conjuntos disyuntos o disjuntos es el conjunto vacío.
Por ejemplo los conjuntos B y C mencionados como ejemplos del conjunto universal son conjuntos disyuntos pues no tienen ningún miembro en común

7) Conjuntos equivalente
Corresponde a los conjuntos con el mismo número cardinal, es decir cuando tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo:
A = {a, b, c, d}
B = {1, a, I, p}
Por lo tanto A y B son conjuntos equivalentes

8) Conjuntos iguales
Cuando los conjuntos contienen los mismos elementos, estos conjuntos son iguales:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {4, 10, 2, 8, 6}
A y B son iguales porque contienen los mismos elementos. Es bueno anotar que en un conjunto no importa el orden en que se ubiquen, por eso el conjunto B es igual que el A

9) Conjuntos homogéneos
Cuando sus miembros o elementos que lo componen, pertenecen al mismo tipo o género. Por ejemplo un conjunto compuesto por letras únicamente, o por números, etc.
A = {a, l, m, p, r}
El conjunto es homogéneo pues todos sus miembros son letras. 10) Conjuntos heterogéneos
Son aquellos conjuntos compuestos por miembros de diferentes tipos, clases, géneros, etc.
B = {1, a, prado, rojo}

11) Conjuntos congruentes
Dos conjuntos numéricos son congruentes cuando sus respectivos miembros se pueden poner en correspondencia uno a uno, de manera que la distancia entre ellos se mantenga:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {7, 9, 11, 13, 15}
Así:
2 y 7; 4 y 9; 6 y 11; 8 y 13; 10 y 15 tienen todos ellos como distancia entre ellos 5

12) Conjuntos no congruentes
Cuando entre dos conjuntos no se puede dar una correspondencia entre los miembros de los conjuntos, de manera que la distancia entre ellos no sea constante, los conjuntos se consideran no congruentes. Ejemplo:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
C = {5, 6, 7, 8, 9} * RELACIONES ENTRE CONJUNTOS * Subconjuntos:
Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos):
Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse que B es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A».
Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez un elemento de A». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B. Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).n 2
Ejemplos:
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4} * Igualdad:
Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.
En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.
Por ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4} C = {1, 2, 3, 3, 4, 1}
B = {3, 4, 1, 2} D = {1, 2, 2, 3, 4, 4,}
A=B
* Conjuntos Disjuntos:
Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común: es decir, todos los elementos de un conjunto son diferentes a los elementos de otro conjunto.
Ejemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {9, 8, 7, 6, 10}
En este caso podemos apreciar que ningún elemento de A o B son los mismos a esto se denomina conjuntos disjuntos. * Intersecantes
Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento en común.

2. OPERACIONES CON CONJUNTOS * Unión La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por AᴜB y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por: * Intersección
Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" que pertenecen a "A" y a "B". Está formado por elementos comunes a los conjuntos que forman la intersección. Se simboliza por A(B y se lee: A intersección B.

Gráficamente, la respuesta es la zona sombreada que contiene a los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

* Diferencia
La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B.

* Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA SIMÉTRICA

* Complemento
El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.

* Producto Cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
Propiedades del producto cartesiano. * A C X^ B C Y A x B C X x Y. * A x B = 0 A = 0 ^ B = 0. * A ǂ B ^ A x B ǂ0 => A x B ǂB x A. * A x (B · C) = (A x B) (A x C). * A x (B + C) = (A x B) + (A x C)

3. Álgebra de Conjuntos * Leyes de las Operaciones entre Conjuntos

CAPITULO II
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
TEORIA DE CONJUNTOS 1) Conjuntos * Cardinalidad
EJERCICIO 1
Cuál es la cardinalidad del conjunto A = {x/ x es compuesto menor que 10, x ∈ N}?
Solución
El conjunto A, en forma enumerativa, es:

A = {4, 6, 8, 9}
Entonces su cardinalidad es 4 y se denota: n(A) = 4
EJERCICIO 2 * Clases de conjuntos A. Conjunto Finito * ¿El conjunto B = {x | x es un día de la semana} es finito?

Solución
El conjunto B en forma enumerativa es:
B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
El conjunto tiene 7 elementos, es decir su cardinalidad está definida, por tanto es finito. B. Conjunto Infinito * ¿El conjunto C = { x ∈ N | x es múltiplo de 3 } es infinito?
Solución
El conjunto C en su forma enumerativa es:
C = {3, 6, 9, 12, 15,…}
El conjunto continúa indefinidamente, no se puede determinar su número de elementos, por tanto, su cardinalidad es infinita y se escribe como: n(C) = ∞

C. Conjunto Vacío * ¿El conjunto D = {x ∈ N | 2x − 1= 0} es vacío?
Solución
El único valor de x que satisface la igualdad es: 1/2
Pero no pertenece al conjunto de los números naturales, por tanto, el conjunto D es vacío.
D= { }= φ su cardinalidad es n (D) = 0 D. Conjunto Universo * Sean los conjuntos:
A = {aves} B = {peces} C = {gatos} D = {perros}
Existe aquí otro conjunto que incluirá a los conjuntos A, B, C y D y que será el conjunto U.
U = {animales}
Gráficamente se puede representar por un rectángulo tal como podemos ver a continuación.

E. Conjuntos Disjuntos * ¿Son disjuntos los conjuntos R = {x ∈ N | x es divisor de 5} y S = {x ∈ N | 2 < x < 5}?
Solución
Los conjuntos en su forma enumerativa son:
R = {1, 5,} y S = {3, 4,}
Los conjuntos no tienen elementos en común, por tanto, los conjuntos R y S son disjuntos. F. Conjuntos Equivalentes * Si A = {x ∈ N | x es divisor de 6 } y B = { a, e, i, o } comprueba que A es equivalente a B.
Solución
Las cardinalidades son: n(A) = 4, n (B) = 4, por tanto, se concluye que ambos son equivalentes. A ≅ B. G. Conjuntos Iguales * Son iguales los conjuntos A = {x ∈ N | x es divisor de 6} y B = {1, 2, 3, 6}? Solución
Los conjuntos en su forma enumerativa son:
A = {1, 2, 3, 6} y B = {1, 2, 3, 6}
Sus cardinalidades son: n(A) = n (B) = 4
Ambos tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos, por tanto, los conjuntos son iguales, es decir, A = B. H. Conjuntos Disjuntos * Son disjuntos los conjuntos R = {x ∈ N | x es divisor de 5} y S = {x ∈ N | 2 < x < 5}?
Solución
Los conjuntos en su forma enumerativa son:
R = {1, 5,} y S = {3, 4,}
Los conjuntos no tienen elementos en común, por tanto, los conjuntos R y S son disjuntos * RELACIONES ENTRE CONJUNTOS * Subconjuntos:
EJERCICIO 1
Dados los conjuntos S = {x | x es dígito} y A = {2, 4, 6, 8}, verifica que A ⊆ S.
Solución
El conjunto S en forma enumerativa es: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Los elementos de A están contenidos en S, por tanto, A ⊆ S.
EJERCICIO 2
Sean los conjuntos L = {2, 4, 5, 6, 8 } y M = { 2, 4, 6 }, verifica que M ⊂ L.
Solución
Los elementos de M están contenidos en L, y M no es equivalente a L, por consiguiente, M ⊂ L. * Igualdad:
EJERCICIO 1
Si: A = [1, 3, 7, 9, a, b} B = {a, b, 9, 3, 1, 7}
Entonces: A = B pues son los mismos elementos aunque estén en diferente orden. EJERCICIO 2 Si: C = {a, e, o, i, u} D = {a, e, o, i, u}
Entonces: C = D * Conjuntos Disjuntos:
EJERCICIO 1
Dados:
A = {a, b, c} y B = { 3, 8, 10 }
A y B son disjuntos, porque no tienen ningún elemento en común.
EJERCICIO 2
Dados:
M = {0, p, q, r} y T = {s, t, u, r}
M y T no son disjuntos, porque tienen el elemento en común "r".

* Intersecantes
EJERCICIO 1
Si A = {a,b,c,d,e}; B = {a,b,m,n} y C = {a,c,m,q};Encontrar la U
Solución:
A n B n C = {a}
El único elemento común a los tres conjuntos es: a.
Representando en el diagrama de Venn:

EJERCICIO 2
Si A = {a, b, c, d}; B = {c, d, m, n} y C = {a, q, r). Encontrar la U
Solución:
AU B U C = {a, b, c, d, m, n, q, r)

2. OPERACIONES CON CONJUNTOS * Unión EJERCICIO 1

EJERCICIO 2
Dados los siguientes conjuntos. Hallar la Unión
A = {naranja, verde, azul}
B = {amarillo, gris}
Solución:
A ∪ B = {naranja, verde, azul, amarillo, gris}

* Intersección EJERCICIO 1
Sean los conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 5, 6} y B = {1, 4, 5, 6, 7}, precisa y representa en un diagrama de Venn A ∩ B.
Solución
Para encontrar el conjunto solución de la intersección de los conjuntos A y B, se toman únicamente los elementos que se repiten en los conjuntos.
Por tanto, el conjunto es
A ∩ B = {1, 5, 6}
Diagrama de Venn

EJERCICIO 2
Encuentra la intersección de los conjuntos C = { x | x es un dígito }, D = { x ∈ N | x ≥ 6} y su diagrama de Venn.
Solución
La transformación en su forma enumerativa de los conjuntos es:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, D = {6, 7, 8, 9, 10, 11...}

Para hallar el conjunto solución de la intersección de los conjuntos C y D, se toman únicamente los elementos que se repiten en los 2 conjuntos.
Por consiguiente, el conjunto solución es:
C ∩ D = {6, 7, 8, 9}
Diagrama de Venn

* Diferencia
EJERCICIO 1
Sean los conjuntos:
A = {a, b, c, d, e} Y B = {a, e, c}; A - B = {b, d}
Usando el diagrama de Venn:

EJERCICIO 2
Dados los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} y el conjunto universal, el conjunto de Números Naturales.
Hallar B-A
Resolución:

* Diferencia Simétrica
EJERCICIO 1
Sean:

Resolución:

EJERCICIO 2
Dados:

* Complemento
EJERTCICIO 1
Sean los conjuntos:
R= {m, n, a, p, q, r} Y A = {p, q, r}
Entonces:
N = {R - A} N = {m, n, a}
Con el diagrama de Venn, A’ se grafica así:

EJERCICIO 2 Dados los conjuntos U = { x ∈ N | x ≤ 9 }, A = { x ∈ N | 3< x < 8 } y B = { 1, 4, 7, 9 }, encuentra el conjunto solución de: A’ ∩ B’ Solución Se escriben los conjuntos U y A en su forma enumerativa: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A = { 4, 5, 6, 7 } Se buscan los complementos de ambos conjuntos: A’ = { 1, 2, 3, 8, 9 } B’ = { 2, 3, 5, 6, 8 } Se efectúa la operación y el conjunto solución es: A’ ∩ B’ = { 1, 2, 3, 8, 9 } ∩ { 2, 3, 5, 6, 8 } = { 2, 3, 8 }

* Producto Cartesiano EJERCICIO 1 Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

EJERCICIO 2 Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:

2. Álgebra de Conjuntos * Leyes de las Operaciones entre Conjuntos EJERCICIO 1 Aplica las leyes y demuestra que (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’) = A. Solución: (A ∩ B) ∪ (A ∩ B’) = A ∩ (B ∪ B’) Ley distributiva = A ∩ U Operaciones con conjuntos = A Operaciones con conjuntos EJERCICIO 2 Aplica las leyes y demuestra que (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Solución: (A ∩ B) ∪ C = C ∪ (A ∩ B) Ley conmutativa = (C ∪ A) ∩ (C ∪ B) Ley distributiva = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) Ley conmutativa EJERCICIO 3 Aplica las leyes y demuestra que A ∩ (B ∩ C )’ = (A − B) ∪ (A − C ). Solución A ∩ (B ∩ C)’ = A ∩ (B’ ∪ C’) Ley de De Morgan = (A ∩ B’) ∪ (A ∩ C’) Ley distributiva = (A − B) ∪ (A − C) Operaciones con conjuntos

CAPITULO III Bibliografía http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm http://www.matetam.com/glosario/definicion/cardinalidad-un-conjunto http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ConjuntosCardinalidad.htm http://es.scribd.com/doc/83359550/4/Clasificacion%C2%A0de%C2%A0conjuntos%C2%A0de%C2%A0acuerdo%C2%A0a%C2%A0su%C2%A0cardinalidad http://artigoo.com/clases-de-conjuntos http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto http://www.monografias.com/trabajos82/teoria-conjuntos/teoria-conjuntos2.shtml#relacionea http://mathsbookcase.blogspot.com/2009/10/teoria-de-conjuntos.html http://www.monografias.com/trabajos82/teoria-conjuntos/teoria-conjuntos2.shtml#operaciona#ixzz2J6jZc6pC http://www.slideshare.net/pgandarilla/leyes-de-conjuntos http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm http://matematica.laguia2000.com/general/conjunto-universa http://www.matematicapdf.com/2012/07/conjuntos-y-logica-pdf-ejercicios.html http://aritmeticatotal.blogspot.com/2012/01/teoria-de-conjuntos-teoria-y-24.html