Teoría de Conjuntos
Antonia Huertas Sanchez María Manzano Arjona mara@usal.es Febrero 2002

ii

Índice general
0.1. Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

I

TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS 1
3 3 4 4 6 6 7 7 9 9 10 10 13 13 13 14 14 15 15 16 16 17 18 19 19

1. Introducción 1.1. Pinceladas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Teoría intuitiva de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. La selva de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Problemas en la teoría intuitiva de conjuntos: la paradoja de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Solución de las paradojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. El Universo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Teoría axiomática de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Álgebra de Conjuntos 2.1. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Igualdad, inclusión y conjunto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Relaciones y Funciones 3.1. Clases unitarias, pares y díadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Conjunto potencia (o conjunto de las partes de un conjunto) 3.3. Gran unión y gran intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Relación inversa, producto relativo y restricción . . . . . . . . 3.7. Imagen bajo una relación y relación identidad. . . . . . . . . 3.8. Propiedades de ciertas relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Funciones, composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Funciones de A en B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL

II Teoría de Conjuntos Axiomática 21
4. Primeros Axiomas 23 4.1. Axiomas de Extensionalidad y de Separación . . . . . . . . . . . 23 4.2. Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes . . . . . . . . . . . 23 4.3. Axioma de Reemplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5. Construcción de los Ordinales 5.1. Buenos órdenes e inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Inducción en un conjunto bien ordenado . . . . . . . . . 5.1.2. Inducción en el conjunto de los números naturales . . . 5.2. Buenos órdenes y ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Comparación de conjuntos bien ordenados: Isomorfismos 5.2.2. Segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Observaciones acerca de los ordinales . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 26 26 27 27 27 27 28

. . . . . . . .

6. La Jerarquía de Zermelo 31 6.1. Construcción de la Jerarquía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.2. Axiomas involucrados en la construcción de la jerarquía . . . . . 32 7. Los Axiomas de Elección y Constructibilidad 7.1. Axioma de la elección . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Otras formulaciones del axioma de elección 7.1.2. Importancia del Axioma de Elección . . . . 7.2. Axioma de Constructibilidad . . . . . . . . . . . . 8. Ejercicios 8.1. Igualdad, Inclusión y Conjunto vacío . . . . . . . . 8.2. Operaciones: Algebra de conjuntos . . . . . . . . . 8.3. Clases Unitarias, Pares y Díadas . . . . . . . . . . 8.4. Conjunto Potencia (o Conjunto de las Partes de un 8.5. Gran Unión y Gran Intersección . . . . . . . . . . 8.6. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Relación Inversa, Producto Relativo y Restricción . 8.9. Imagen bajo una Relación y Relación de Identidad 8.10. Propiedades de ciertas relaciones . . . . . . . . . . 8.11. Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . 8.12. Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13. Funciones, Composición . . . . . . . . . . . . . . . 8.14. Funciones de A en B . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.15. Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Bibliografía 35 35 36 36 36 39 39 39 40 40 40 41 41 42 42 43 43 43 43 44 44 49

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

0.1. PREFACIO

v

0.1.

Prefacio

Las notas que siguen constituyen una guía para un curso básico de teoría de conjuntos. La primera parte, formada por tres capítulos, se podrían insertar en un curso de introducción de lógica, entre la lógica proposicional y la de primer orden. Si el curso se piensa dar en Facultades de Letras, se puede complementar con una serie de ejercicios aún más elementales (que estamos elaborando) cuyo objetivo es que el alumno sepa trasegar con conjuntos y relaciones concretas. No se incluyen las demostraciones, que son la parte fundamental del curso, ya que las hacemos en la pizarra. Esto no es un libro, son unos apuntes que esperamos os sean de alguna ayuda. El bloque completo de estas notas constituye un curso de 20 horas para alumnos de primer ciclo. Por tratarse de una asignatura de las denominadas de LIBRE CONFIGURACIÓN (esto quiere decir que no es de ninguna carrera en particular, que la pueden elegir alumnos de cualquier titulación) no se puede suponer un conocimiento previo homogéneo, de ahí proviene su estilo “mestizo”.

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ÍNDICE GENERAL

Parte I

TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS

1

Capítulo 1

Introducción
1.1. Pinceladas históricas

En el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de las matemáticas que las ligaría desde entonces a la historia de la lógica. Primero, Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar la lógica como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob Frege (1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de la lógica, G. Cantor se había adelantado a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó una nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos. Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Desde entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas. Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar. En 1903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual. Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas, es además, la teoría matemática dónde fundamentar la aritmética 3

4

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

y el resto de teorías matemáticas. Es también indiscutible que es una parte de la lógica y en particular una parte de la lógica de predicados. En esta historia cruzada de las matemáticas, la lógica y los fundamentos de ambas, la teoría de conjuntos permitiría por un lado una fundación logicista de las matemáticas; pero por otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas proporciona el metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas. Finalmente, puede ser completamente expresada en un lenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer orden. En los capítulos que siguen se presenta primero la teoría intuitiva de conjuntos, basada en la original de Cantor, para seguir con sus problemas de inconsistencia y la solución axiomática final como la teoría de conjuntos de ZermeloFraenkel.

1.2.
1.2.1.

Teoría intuitiva de conjuntos
La selva de Cantor

La definición inicial de Cantor es totalmente intuitiva: un conjunto es cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos x de nuestra percepción o nuestro pensamiento (que se denominan elementos de C), reunidos en un todo. Igual que en Frege su idea de lo que es un conjunto coincide con la extensión de un predicado (la colección de objetos que satisface el predicado). Esta idea sencilla y tan intuitiva resulta ser también ingenua porque produce enormes contradicciones de inmediato, como por ejemplo la paradoja de Russell. Para poder mostrarlo es necesario empezar por formalizar esta teoría intuitiva que, aparte de los símbolos para los conjuntos y sus elementos (x, C, etc.), tendrá los símbolos de pertenencia ∈ e igualdad = (de los objetos del lenguaje formal). Que x es un elemento del conjunto C se expresa “x pertenece a C ” o bien x ∈ C. Que x no es un elemento de C se expresa “x no pertenece a C ” (x ∈ C). / Tendremos en cuenta que no es necesario denotar siempre con mayúsculas a los conjuntos y con minúsculas a sus elementos, ya que un conjunto puede ser a su vez un elemento de otro conjunto e incluso podemos considerar que en nuestra teoría no hay objetos que no sean conjuntos. ¿Cómo se determina una colección? Listar los objetos. De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto queda definido si es posible describir completamente sus elementos. El procedimiento más sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos, se llama definición por extensión; es conocida la notación de encerrar entre llaves los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {a, b, c}. Donde A es el conjunto formado por la colección de objetos

1.2. TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS a, b y c.

5

B = {⊕, ª, ⊗, ®, ¯}. Donde B es el conjunto formado exactamente por esos cinco círculos. Entonces es cierto que b ∈ A y que b ∈ B. / El inconveniente para este método de listado o enumeración de los elementos del conjunto es que éstos deben poseer un número finito de elementos y, en la práctica, un número muy pequeño ¿Qué hacer cuando la colección es infinita, o cuando es finita pero numerosa? Describir los objetos. Cuando el número de elementos del conjunto es infinito (como el de los número impares) o demasiado numeroso (como el de todas las palabras que pueden formarse con el alfabeto latino) se utiliza el método de definición por intensión, que consiste en la descripción de un conjunto como la extensión de un predicado, esto es, mediante una o varias propiedades (el predicado) que caracterizan a los elementos de ese conjunto. En principio podría tomarse cualquier lengua natural para describir los objetos (español, inglés, italiano, vasco, catalán, etc), sin embargo es preferible utilizar un lenguaje formal que ofrezca rigor y precisión. Dicho lenguaje debe ser suficientemente rico; esto es, lo suficientemente expresivo como para poder describir todas las colecciones matemáticas. Pero también lo suficientemente restrictivo como para limitarse a sólo las colecciones de objetos matemáticos. Para expresar predicados utilizaremos el lenguaje formal de la la lógica de predicados de primer orden (el lenguaje de la lógica de proposiciones con los símbolos lógicos de las conectivas ¬, ∨, ∧, →, ↔ más los cuantificadores universal ∀ y existencial ∃) al que se añade variables, igualdad y el relator binario de pertenencia. Este lenguaje puede ser ampliado con los símbolos propios de las operaciones, relaciones o funciones del lenguaje específico de teoría de conjuntos. En la primera parte, al presentar la Teoría básica de conjuntos, utilizaremos con frecuencia el lenguaje natural para describir propiedades. Estas propiedades pueden ser aritméticas ( a1 > a2 > ...)

3.11. FUNCIONES, COMPOSICIÓN

19

3.11.

Funciones, composición

Definiciones Función. f es una función si y sólo si f es una relación y (∀xyz(((hx, yi ∈ f ) ∧ (hx, zi ∈ f )) → (y = z))) Composición: f ◦ g = g/f Notación: Si f es una función notaremos f (x) = y para indicar hx, yi ∈ f Teoremas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ∀Af ( (f es una función ∧ A ⊆ f ) → ( A es una función)) ∀Af ( (f es una función ) → (f ¹ A es una función)) ∀f g ( (f es una función ∧ g es una función ) → (f ∩ g es una función)) ∀f g ( (f es una función ∧ g es una función ) → (f /g es una funcion)) ∀f g ( (f es función ∧ g es función ∧ Dom f ∩ Dom g = ∅) → (f ∪ g es función)) ∀f ( (f es función ∧ ∀z (z ∈ Rang f ∧ hx, zi ∈ f ∧ hy, zi ∈ f → x = y)) → f −1 es una función) ∀f g ( (f es función ∧ g es función) → (f ◦ g es función)) ∀f gx ((f es función ∧ g es función ∧ x ∈ Dom(f ◦ g)) → ((f ◦ g)(x) = f (g(x))))

3.12.

Funciones de A en B

Definiciones f es una función de A en B si y sólo si f es una función y Dom f = A y Rang f ⊆ B Notacion: para indicar que f es una funcion de A en B escribiremos f : A −→ B f es una funcion inyectiva si y sólo si f es una función y (∀xyz (hx, yi ∈ f ∧ hz, yi ∈ f → x = z)) f : A −→ B es exhaustiva si y sólo si Rang f = A f : A −→ B es biyectiva si y sólo si f es inyectiva & exhaustiva Notacion: AB denotará el conjunto de todas las funciones de B en A

20 Teoremas 1. 2. 3.

CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES

∀f ((f es inyectiva ) ↔ (f es una función ∧ f −1 es una función)) ∀f xy (((f es inyectiva) ∧ (x, y ∈ Dom f )) → ((f (x) = f (y) → (x = y))) ∀f g ((f es inyectiva ∧ g es inyectiva ) → (f ◦ g es inyectiva))

Parte II

Teoría de Conjuntos Axiomática

21

Capítulo 4

Primeros Axiomas
Los axiomas de la teoría ZF son propiedades indemostrales que se aceptan como verdaderas y que tienen por objeto garantizar que en la Jerarquía de Conjuntos ZF todo lo construído son conjuntos y así evitar las paradojas.

4.1.

Axiomas de Extensionalidad y de Separación

Definición Axioma de Extensionalidad: ∀AB (A = B ↔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B). Este axioma asegura que el símbolo lógico = para la igualdad de objetos de la teoría coincide con la intuición de que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Axioma de Separación: ∀A∃B(x ∈ B ↔ (x ∈ A ∧ ϕ(x)) . Expresa que si ϕ(x) es una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos, con a lo sumo la variable x libre y A es un conjunto, entonces la clase (colección) {x/x ∈ A ∧ ϕ(x)} es un conjunto. El axioma de separación obliga a que los conjuntos estén formados de elementos de conjuntos ya construídos. Hay que observar que más que un sólo axioma es un esquema de axiomas, ya que tenemos un axioma para cada predicado.

4.2.

Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes

Definición Axioma del Par: ∀A∀B∃C(∀x(x ∈ C ↔ x = A ∨ x = B) . Expresa que si A y B son conjuntos entonces la clase {A, B} es un conjunto. En particular, si A es un conjunto entonces la clase {A} es un conjunto (por extensionalidad ). Este axioma asegura que las colecciones de conjuntos son conjuntos. 23

24

CAPÍTULO 4. PRIMEROS AXIOMAS Axioma de la Unión: ∀A∃B(∀x(x ∈ B ↔ ∃y(y ∈ A ∧ x ∈ y))). Expresa [ que si A es un conjunto la reunión de A, A, es un conjunto.

Axioma de las Partes: ∀A∃B(∀x(x ∈ B ↔ x ⊆ A)) . Si A es un conjunto, entonces las partes de A, PA, es un conjunto. Teorema A partir de los cinco primeros axiomas se obtienen los resultados siguientes que nos garantizan que las clases definidas con anteridad son conjuntos. [ 1. Si A y B son conjuntos entonces A ∪ B, A ∩ B, A − B, {A, B} , PA, A, \ A son conjuntos. Es consecuencia inmediata de los axiomas.

2. Si A y B son conjuntos entonces A × B es un conjunto. Es consecuencia de que A × B ⊆ P(P(A ∪ B) y de los axiomas de Reunión y de las Partes.

3. Como consecuencia de 2 las relaciones obtenidas a partir de productos cartesianos también serán conjuntos. Lo que no se puede deducir a partir de los axiomas anteriores es que la imagen por una función de un conjunto sea un conjunto. Necesitamos un nuevo axioma para ello.

4.3.

Axioma de Reemplazamiento

Axioma de Reemplazamiento: ∀x∃!yϕ(x, y) → ∀A∃B∀y(y ∈ B ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ϕ(x, y)) Expresa que la imagen de un conjunto por una función es un conjunto.

Capítulo 5

Construcción de los Ordinales
5.1. Buenos órdenes e inducción

Se ha visto que en un conjunto bien ordenado todos los subconjuntos no vacíos tienen un primer elemento. El teorema de inducción es una consecuencia de esta importante propiedad, a continuación lo enunciaremos para conjuntos bien ordenados arbitrarios y veremos también versiones del teorema de inducción para el conjunto de los números naturales. Lo que hace que funcione el principio de inducción matemática [P(0)&∀n(P(n) ⇒ P(n + 1)) ⇒ ∀nP(n)] es el buen orden de los naturales. Supongamos que no todos los naturales tienen la propiedad P;es decir, {n | ¬P(n)} 6= ∅. Por el buen orden de los naturales habría un primer elemento de este conjunto; es decir habría un m para el que valdría ¬P(m) pero también, por ser m el primer elemento, valdría P(m − 1). Esto es justamente lo que queda excluído en la prueba por inducción; por ello demostramos ∀n(P(n) ⇒ P(n + 1)) ¿Se puede extender este método para que sirva no sólo con los conjuntos numerables, sino también con los transfinitos (supernumerables)? La respuesta es afirmativa, lo veremos ahora. 25

26

CAPÍTULO 5. CONSTRUCCIÓN DE LOS ORDINALES

5.1.1.

Inducción en un conjunto bien ordenado

Teorema de Inducción Sea hX, ≤i un conjunto bien ordenado. Y sea E ⊆ X tal que: 1. el primer elemento de X es elemento de E. 2. para cada x ∈ X, si ∀y(y < x → y ∈ E), entonces x ∈ E. entonces E = X

5.1.2.

Inducción en el conjunto de los números naturales

Llamamos ω al conjunto de los números naturales con su ordenación habitual. ω es un conjunto bien ordenado y por tanto vale el teorema de inducción Teorema de Inducción para ω (1) Inducción fuerte. Sea X ⊆ ω tal que (∀n ∈ ω)(n ⊆ X → n ∈ X), entonces X = ω (2) Inducción débil. Sea X ⊆ ω tal que (i) 0 ∈ X (ii) (∀n ∈ ω)(n ∈ X → (n + 1) ∈ X) entonces X = ω (3) Expresión de la inducción débil mediante fórmulas. Sea P(x) un predicado o propiedad del lenguaje de la teoría de conjuntos específica para los números naturales ω. Si se satisface: (i) P(0) (ii) (∀n ∈ ω)(P(n) → P(n + 1)) entonces (∀n ∈ ω)(P(n)) (4) Expresión generalizada de la inducción débil mediante fórmulas. Sea P(x) un predicado o propiedad del lenguaje de la teoría de conjuntos específica para los números naturales ω. Si se satisface: (i) P(n0 ) para un cierto número natural n0 . (ii) (∀n ≥ n0 )(P(n) → P(n + 1)) entonces (∀n ≥ n0 )P(n) Demostración de (4): (4) Es consecuencia directa del teorema de inducción en conjuntos bien ordenados y el hecho de que ω − {n/ n < n0 } es un conjunto bien ordenado cuyo primer elemento es n0 .

5.2. BUENOS ÓRDENES Y ORDINALES

27

5.2.
5.2.1.

Buenos órdenes y ordinales
Comparación de conjuntos bien ordenados: Isomorfismos

Definición Sean hX, ≤i y hX 0 , ≤0 i dos conjuntos bien ordenados. f : X −→ X 0 es un isomorfismo de órdenes si y sólo si (i) f es biyectiva (ii) x < y ⇒ f (x) 0 se cumple, X(n) ⊂ X(0). Por lo tanto, para cada n > 0 se cumple, X(n) ∈ X(0). Así que {X(n + 1)}n=0 es una sucesión decreciente infinita de elementos de X(0). Pero X(0) es un ordinal, está bien ordenado mediante ⊂ y por lo tanto no puede haber tales cadenas descendentes infinitas.
∞

¿Cómo son los ordinales “por dentro”?

30

CAPÍTULO 5. CONSTRUCCIÓN DE LOS ORDINALES

Usaremos letras griegas minúsculas para denotar ordinales. Puesto que el orden es siempre ⊂ no hace falta especificarlo. Sin embargo, recordaremos siempre que un ordinal no es sólo un conjunto, sino un conjunto y un orden. Para denotar el orden de los ordinales se usa indistintamente α < β, α ⊂ β o α ∈ β. Puesto que los ordinales miden conjuntos bien ordenados, en particular medirán conjuntos finitos. Definiremos a los naturales como ordinales finitos. Cómo es un ordinal? Si α es un ordinal, entonces α = {β | β < α}

Ordinales finitos ∅ {0} = {∅} {0, 1} = {∅, {∅}} . . . {0, 1, 2, ..., n − 1} . . . Primer ordinal Segundo ordinal Tercer ordinal . . . Ordinal enésimo+1 . . . Denotación Denotación Denotación . . . Denotación . . . 0 1 2 . . . n . . .

¿Cúal es el primer ordinal infinito? El primer ordinal infinito es el de los naturales {0, 1, 2, ..., n, n + 1, ...} = ω ¿Y luego? Se forma su siguiente {0, 1, 2, ..., n − 1, ..., ω} = ω + 1

Procedimiento general (i) Si α es un ordinal, su siguiente es α ∪ {α} = α + 1. Un ordinal que es el siguiente de otro ordinal se denomina ordinal sucesor (ii) Si 0, 1, 2, ..., n, n + 1, ..., ω, ω + 1, ..., α, α + 1, ... son los elementos de un segmento inicial de un ordinal, sin elemento último se forma el ordinal {0, 1, 2, ..., n, n + 1, ..., ω, ω + 1, ..., α, α + 1, ...} Puesto que un ordinal de esta índole carece de elemento último, se le llama ordinal límite. Así que ω es un ordinal límite.

Capítulo 6

La Jerarquía de Zermelo
6.1. Construcción de la Jerarquía

Ahora podemos presentar con rigor la jerarquía de conjuntos de Zermelo Fraenkel, y responder a las preguntas que nos hicimos cuando hablábamos del Universo matemático y se proponía la construcción de los conjuntos de la teoría partiendo de una colección inicial M0 de objetos dados y construyendo a continuación una colección M1 de objetos de M0 , después M2 de objetos de M0 y de M1 y así sucesivamente.

1. ¿Cúal será nuestra colección de partida, M0 ?. Partimos de M0 = ∅, el nivel inicial. Lo llamamos V0 = ∅ 2. ¿Qué conjuntos de objetos de niveles inferiores se toman para formar nuevos niveles en la jerarquía? Supóngase que hemos definido ya Vα . ¿Qué conjuntos de miembros de Vα tomaremos para formar Vα+1 ?. Consideraremos P(Vα ) el conjunto potencia o de las partes de Vα , cuyos elementos son los subconjuntos de Vα . Por tanto, dado el nivel Vα (siendo α ordinal sucesor) formamos Vα+1 = P(Vα ) Y cuándo α es un ordinal límite: Vα = [ Vβ

β