Estatística para Economistas e para Gestores Inverno 2012/2013

Capítulo -1 Análise Combinatória (revisão) Capitulo 0 Capítulo 1 Capítulo 2 Algumas probabilidades (revisão) Distribuições discretas (semi revisão) Distribuições contínuas (novo)

Atenção: * exercício que pode ser interessante mas ultrapassa a exigência do curso ** exercício fora do programa do actual curso mas que poderá ser útil um dia

Ana Catarina Marques Marta Cachola Francisco Fialho Pinto José António Pinheiro

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Capítulo Menos UM Recorde o essencial de análise combinatória Este capítulo não será dado nas aulas práticas. São revisões estruturais.

1. De quantas maneiras podem ser dispostos em sequência 6 livros diferentes? E se os livros não forem diferentes?

Solução :

P 6

6! 720

A segunda parte da questão é ambígua. Seis livros são sempre diferentes. De outro modo não eram seis, eram um...

2. Pretende-se arrumar numa prateleira 5 livros diferentes de matemática, 6 de estatística e 2 de microeconomia.

a) Quantas arrumações são possíveis se não houver qualquer restrição às posições dos livros?

Solução: 13 livros em 13 lugares sem restrições P 13

13! 6.227.020.800

b) Se cada arrumação levar UM SEGUNDO a ser feita, se trabalhar sem parar, quanto tempo leva a realizar todas as arrumações possíveis?

Solução: uma eternidade; a nós deu-nos 197, 45 anos...
Segundos Minutos Horas Dias Anos 6227020800 103783680 1729728 72072 197,46

c) Suponha que contratou um ajudante cibernético e que juntos conseguem fazer uma arrumação nova em 1/100 de segundo. Mesmo assim quanto tempo levará a concretizar todas as arrumações?
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Solução: mesmo assim quase dois anos
Segundos/100 Minutos Horas Dias Anos 62270208 1037836,8 17297,28 720,72 1,97

d) Quantas arrumações são possíveis se os livros de cada matéria ficarem todos juntos? Este número é menor que o anterior. Seria isso óbvio?

Solução: equivale a só trocar blocos e trocar dentro de cada bloco; ou seja

3! 5!6!2!

1036800

Sim era óbvio. Estas arrumações são apenas algumas. No caso anterior não havia restrições.

e) E se apenas os de matemática ficarem juntos?

Solução: o bloco dos livros de matemática pode estar em 9 locais; para cada configuração posso trocar os 5 entre si e à volta os restantes 8 sem restrições:

9 5!8!

43545600

3. Entre 5 matemáticos e 7 economistas deve formar-se uma comissão de 2 matemáticos e de 3 economistas. De quantas maneiras possíveis se pode formar essa comissão: a) Se qualquer matemático e qualquer economista puder ser incluído. Solução: C2 C3
5 7

350

b) Se um determinado economista deve ser incluído. Solução: C2 C2
6 5

150

c) Se 2 matemáticos não devem ser incluídos. Solução: C3 C2
7 3

105

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4. Talvez já alguém lhe tenha dito que até 1992 as matrículas de automóveis em Portugal eram do tipo AB-12-34.

Depois passaram a ser do tipo 12-34-AB.

a) Quantas matrículas diferentes podem existir em Portugal se não houver nenhuma restrição?

Solução: Aceitemos que o abecedário tem 23 letras das quais 5 são vogais. Antes de 92 o número de matrículas conta-se por simples aplicação do produto cartesiano

23.23.10.10.10.10= 232 *104

5290000 ; para os dois ciclos será o dobro: 10580000.

Com esta dica fazer as restantes alíneas é fácil!

b) E se não pudesse haver letras iguais? Solução: 23 22 104

5060000 X 2 10120000

c) E se os automobilistas nunca quisessem que o número 13 aparecesse em alguma das sequências de dois algarismos? Solução: 23 23 99 99

2 10369458

d) E se só houvesse letras iguais e números repetidos do tipo FF-22-88? Solução: AA-11-22 corresponde a A-1-2 para efeitos de contagem ; 23 10 10 e) E se as letras tivessem de ser uma vogal e uma consoante? Solução: casos do tipo AC-12-34 contam-se 5 18

2 4600

2 104 2 3600000

5. Suponha que em certo país as matrículas são formadas por três letras e três números, por exemplo XYZ-123. a) Quantas matrículas podem ser feitas sem qualquer restrição? b) Quantas matrículas se podem fazer se não forem autorizadas símbolos (letras ou números) repetidos? c) Quantas matrículas se podem fazer se não forem autorizadas sequências de números começadas por zero?

Solução: é dado, só pode.

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6. Com 7 consoantes e 3 vogais quantas palavras podem ser formadas se forem compostas por 4 consoantes e 3 vogais? Não é necessário que as palavras tenham significado mas não se consideram letras repetidas.

7 3 Solução: C4 C3 P7

176400

7. Num concurso foram premiados 10 alunos, 2 dos quais são irmãos. Desses 10 será escolhida uma equipa de 4 para ir almoçar ao Bar da Tenda.

a) Sabendo que não vão os 2 irmãos simultaneamente, quantas equipas diferentes podem ser escolhidas?
10 Solução: Total de equipas C4

210 ; 28

8 Total de equipas com os dois irmãos: C2

A resposta será então 210-28=182

b) E se os dois irmãos forem simultaneamente?

8 Solução: C2

28

c) E se um dos irmãos tiver de ser incluído? Compare esta situação com a de a).

Solução: Só irmão A

8 C3

56 56

8 Só irmão B C3

8 Ambos A e B C2

28 (a pergunta não diz um e só um)
140

Total

8. Pretende-se examinar um lote de 40 artigos, retirando dele uma amostra de 5 elementos. Quantas amostras diferentes podem ser obtidas, supondo que: a) Cada artigo é examinado e posto de parte, ou seja, não colocado de novo no lote. Solução: C540 b) Cada artigo é examinado e colocado novamente no lote. Solução: 405

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9. Calcule o número de configurações para 4 homens e 4 mulheres se sentarem em fila se: a) Nenhuma restrição for imposta. Solução P8 b) As mulheres e os homens tomarem lugares alternados. Solução 2P P 4 4 c) As mulheres e os homens tomarem lugares alternados, mas havendo 1 mulher e 1 homem que se sentam sempre ao lado um do outro. Solução 7.2.P P 3 3 d) As mulheres e os homens tomarem lugares alternados, mas havendo 1 mulher e 1 homem que nunca se sentam ao lado um do outro. Solução: b)-c)

10. Calcule o número de chaves diferentes no totobola.

Solução: Uma chave é composta por 13 símbolos; cada um pode tomar três valores; a solução é dada pelo produto cartesiano de 13 conjuntos de cardinal 3; ou na nossa notação A313

313

11. Calcule o número de diferentes chaves de um totoloto com 50 bolas das quais se extraem 7.

Solução: no totoloto não interessa a ordem de saída dos números. É como se tirasse 7 bolas das 50.
50 A resposta será pois C 7 .

12. De quantas maneiras se podem sentar 10 pessoas num banco de 4 lugares? Solução: 5040

13. De quantas maneiras uma comissão de 5 pessoas sem hierarquia pode ser escolhida a partir de 9 indivíduos? Solução: 126

14. Cinco mármores vermelhos, dois brancos e três azuis estão arrumados em linha. Se não for possível distinguir os mármores da mesma cor, quantas arrumações diferentes são possíveis?

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Solução:

todos

os

casos

possíveis

a

dividir

pelos

casos

indistinguíveis

10! 2520 5!2!3!

15. De quantas maneiras podem ser separados 10 objectos em grupos que contenham 4 e 6 objectos, respectivamente?
10 Solução: C4 10 C6

210

16. Uma empresa tem 7 homens qualificados para trabalhar com uma máquina que exige três homens em cada turno.
7 a) Quantas maneiras diferentes existem de organizar os turnos? Solução: C3
6 b) Em quantos casos aparece sempre o mesmo homem? Solução: C2

35

15

17. Suponha que uma turma de uma dada cadeira é constituída por 30 alunos e que, num determinado dia, todos assistem à aula. A primeira fila é composta por 8 lugares. De quantas
30 maneiras se pode ocupar essa fila? Solução: A8 = 2,3599 *1011

18. Uma quinta está dividida em 64 lotes. Um agricultor pretende comparar nessa quinta a produção de 5 espécies de beterrabas, utilizando para esse fim 3 tipos de insecticida e 4 fertilizantes diferentes. Terá lotes suficientes para a sua experiência? Solução: Sim, apenas são necessários 60 lotes.

19. Considere todos os inteiros com 3 dígitos. Quantos são: a) Superiores a 400? Solução: 599 b) Ímpares? Solução: 500 c) Pares? Solução: 500 d) Divisíveis por 5? Solução: 200

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Capítulo ZERO Dois ou três problemas clássicos para refrescar as ideias. Este capítulo não será dado nas aulas práticas. São revisões estruturais.

1. Das seguintes experiências diga quais podem ser consideradas Experiências Aleatórias:

a) Lançamento de uma moeda equilibrada e observação do resultado; Sim! b) Lançamento de uma moeda viciada e observação do resultado; Sim! c) Altura da primeira pessoa que encontro na rua de manhã; Sim! d) Partido político em que vota a décima pessoa que encontro após o meio-dia; Sim! e) Resultado da final do EURO 2004; Não. Estamos em 2012. f) Tempo que faz amanhã; Não! g) Número diário de acidentes no cruzamento da Rua Marques de Fronteira com a Av. António Augusto de Aguiar; Sim! h) Número de bocados em que se parte o meu jarrão chinês preferido ao ser derrubado pelo gato. Não! Uma Experiência Aleatória: Tem dois ou mais resultados possíveis, sendo estes conhecidos, mas o resultado de cada experiência é desconhecido a priori e pode ser repetida sob as mesmas condições.

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2. Um casal tem dois filhos.

a) Qual a probabilidade de serem do mesmo sexo? E de sexos diferentes?

Este problema é um clássico! Usando a notação M F, o espaço dos resultados é:

S

MF , FM , MM , FF

Convença-se que os dois primeiros resultados são de facto diferentes! Deve ter exemplos na família.

A probabilidade de serem do mesmo sexo é:

2 casos favoráveis 4 casos igualmente possíveis

2 4

1 2

Idem para sexos diferentes. MAS veja agora a alínea seguinte…

b) Sabendo que um deles é rapaz, qual a probabilidade do outro ser rapariga? E de ser rapaz?

Neste caso o espaço dos resultados já NÃO é o mesmo que em a)!!

A'

MF , FM , MM

Então, na mesma lógica, a probabilidade de o outro ser rapaz será outro ser rapariga será

1 e a probabilidade de o 3

2 . 3

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3. Este agora é para si! É parecido com o anterior mas chocante para espíritos sensíveis.

Três prisioneiros, Joaquim, Manuel e Tiago sabem que dois e só dois vão ser condenados à morte.

Joaquim vai falar com o carrasco e conta-lhe a seguinte história:

ambos sabemos que um dos outros dois vai ser executado; diz-me então o nome de um dos outros que vai ser executado.

O carrasco pensa um pouco e diz então a Joaquim que Tiago será executado. Embora com moderação, Joaquim fica contente pois acha que as suas chances de ser executado baixaram depois desta informação!

a) Qual a probabilidade de Joaquim ser executado ANTES da informação do carrasco?

Antes da informação, o espaço de resultados é o seguinte:

S {JM ; JT ; MT }

Em que cada acontecimento tem igual probabilidade de ocorrer. Assim, temos dois casos favoráveis, em que Joaquim (que não os acha favoráveis) morre, ficamos com:

2 casos favoráveis 3 casos possíveis

2 3

0, 667

b) Qual a probabilidade de Joaquim ser executado APÓS a informação do carrasco? A partir deste momento, já sabemos que o Tiago será executado, e o espaço de resultados passa a ser:

S ' {TM ; TJ }

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Ou seja, só ficam no espaço de resultados os acontecimentos que podem acontecer, os que incluem a morte do Tiago. E aqui, temos 1 caso favorável, em que Joaquim será executado. A probabilidade de Joaquim morrer nas mãos do carrasco passa a ser dada por:
1 caso favorável 2 casos possíveis 1 2 0,5 2 3 0, 667

Portanto, o Joaquim tem razão, se ficar contente com a notícia.

4. Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ficar bem em cada um é de 1/2.

Calcule a probabilidade de ficar bem: a) Em pelo menos 1 exame. Comecemos por definir o acontecimento “ficar bem em pelo menos um exame”: ficar bem no primeiro, no segundo, ou no terceiro exame...Esta formulação inclui o caso em que fica bem em mais do que um.

P( A

B

C)

P ( A) P ( B ) P (C ) P ( A

B) P( A

C ) P(B

C ) P( A

B

C)

1 2

1 2

1 2

1 4

1 4

1 1 4 8

7 8

De onde vem esta confusão toda? Lembra-se de P( A

B)

P( A) P ( B ) P ( A

B ) ? É um

bocadinho de nada mais complicado, mas é a mesma ideia. Se não chegou lá ainda, faça um diagrama de Venn. Fazendo as coisas de outra maneira igualmente eficaz, mas aparentemente mais eficiente:

A

B

C

A

B

C 1

1 8

7 8

b) Num só exame.

Neste caso, podemos ver quais os acontecimentos favoráveis e somar as suas probabilidades:

A A A

B B B

C C C

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A probabilidade de cada um destes acontecimentos é dada por:

P( passar ) P(não passar ) P(não passar) P( passar )

2

1 P(não passar)= 2

3

Portanto, somando as probabilidades destes 3 acontecimentos, ficamos com:

3

1 2

3

3 8

Este exercício faz lembrar uma distribuição que já conhece há algum tempo, qual será?

5. Responda justificadamente às seguintes questões:

a) Considere dois acontecimentos mutuamente exclusivos e com probabilidades não nulas. Podem eles ser independentes?

Para se poder afirmar que A e B são independentes a exp ressão P( A tem de ser verificada . Se A e B são acontecime ntos mutuamente exclusivos , implica que P( A Em consequência vem que : 0

B)

P( A) * P( B)

B) 0.

P( A) * P( B), o que só pode acontecer se P( A) ou P( B)

igualarem zero (hipótese excluída no enunciado), log o nunca poderão ser independentes.

b) Sejam A e B acontecimentos com probabilidades não nulas. Se A nunca podem ser independentes. Verdadeiro ou Falso?

B S, então A e B

Se A e B são independentes, P ( A B ) P ( A) * P ( B ). Se A B P ( A B ) P ( A), logo substituindo na expressão anterior vem : P ( A) P ( A) * P ( B ), o que implica que P ( B ) 1 ou que P ( A) 0. A primeira hipótese não é possível porque B nunca poderá coincidir com S pois B S , sendo a segunda hipótese válida. Em consequência, A e B podem ser independentes se P( A) 0.

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6. Um hipermercado encomendou um inquérito onde os clientes foram classificados de acordo com a frequência das suas visitas ao hiper: ocasionais (O) frequentes (F) e de acordo com a frequência com que adquirem produtos genéricos regularmente (R) irregularmente (I) nunca (N).

O inquérito produziu os seguintes resultados: Visitas R F O 120 70 Compras I 480 60 N 190 80

Para resolver, olhemos para os subtotais e totais por linhas e por colunas:

Visitas R F O 120 70 190

Compras I 480 60 540 N 190 80 270 790 210 1000

a) Qual a probabilidade de um cliente ir frequentemente ao hiper e ser um comprador regular de genéricos?

P( F

R)

120 1000

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b) Qual a probabilidade de um cliente ir frequentemente ao hiper?

P( F )

790 1000

c) Qual a probabilidade de um cliente nunca comprar genéricos?

P( N )

270 1000

d) Qual a probabilidade de um cliente que nunca compra genéricos ir frequentemente ao hiper?

Ou seja, qual a probabilidade de um cliente ir frequentemente ao hipermercado, dado que nunca compra genéricos:

P( F | N )

190 270

e) Qual a probabilidade de um cliente que apenas ocasionalmente vai ao hiper ser um comprador regular de genéricos?

P( R | O)

70 210

f) Os acontecimentos F e N são independentes?

Como é que isto se vê? Pergunta-se o seguinte:

P( F
E então?

N)

P( F ) P( N ) ?

P( F
Não, não são independentes.

N)

120 1000

P( F ) P( N )

790 270 1000 1000

Pode confirmar as contas, se quiser.

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g) Os acontecimentos R e O são independentes?

Outra vez a mesma coisa:

P( R

O)

70 1000 190 210 1000 1000

P( R) P(O)

4. O quadro seguinte classifica 1456 pessoas de acordo com o sexo e opinião sobre os novos horários de fim-de-semana dos hipermercados.

Homem (H) A favor (F) Contra (C) Totais 392 241 633

Mulher (M) 649 174 823

Totais 1041 415 1456

Sabendo que foi escolhido aleatoriamente um dos 1456 indivíduos, calcule e interprete as seguintes probabilidades:

a) P ( F ) Probabilidade de uma pessoa qualquer ser a favor:

P( F )
b) P ( F | H )

1041 1456

Probabilidade de, sendo homem, ser a favor (i.e., já sabemos que é homem, agora, qual será a probabilidade de ele ser a favor?):

P( F | H )
c) P ( F | M )

392 633

A mesma coisa que a anterior, mas agora é com mulheres.

P( F | M )

649 823

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7. Suponha que 5% da população portuguesa sofre de hipertensão e que, de entre estes, 75% ingerem bebidas alcoólicas. Por seu lado de entre os que não são hipertensos, 50% ingerem bebidas alcoólicas.

a) Qual a percentagem de pessoas que bebem álcool? Este exercício é uma finta às pessoas que têm a tentação de somar percentagens sem pensar. Vejamos então: A população é composta por 95% de não hipertensos e 5% de hipertensos.

Dos não hipertensos, 50% bebem álcool. (50% de 95% da população, i.e., 47,5% da população)

Dos hipertensos, 75% bebem álcool. (75% de 5% da população, i.e., 3,75% da população).

Então, na população toda, 47,5% + 3,75% = 51,25% das pessoas bebem álcool.

Complicando vagamente, para facilitar a vida na alínea b):

Entre os não hipertensos, temos: H A 0,95 0,5 0, 475 (não hipertensos que não bebem) H A 0,95 0,5 0, 475 (não hipertensos que bebem) E entre os hipertensos, temos H H A 0, 25 0, 05 0, 0125 (hipertensos que não bebem) A 0, 75 0, 05 0, 0375 (hipertensos que bebem)

Podemos ainda apresentar o seguinte:
P(A)=P(H A) P( H A)

P( H ) P( A | H ) P( H ) P( A | H )

b) Qual a percentagem de pessoas que, bebendo álcool, sofrem de hipertensão? Ou seja, dado que bebe, sofre de hipertensão:

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P( H | A) (sofre de hipertensão, dado que bebe) sabemos que: P( H A) 3, 75 P( H | A) 0, 0732 7,32% P( A) 51, 25

8. Um barco pesqueiro desapareceu e presume-se que o seu desaparecimento se deva a uma de 3 causas possíveis:

C1- afundou-se quando experimentava um sofisticado sistema de pesca para o qual não estava apetrechado; C2- foi sequestrado por transportar um carregamento de material nuclear; C3- foi destruído por um temporal. Três brigadas de busca e salvamento, B1, B2 e B3, foram enviadas com a missão de procurar o barco, investigando cada uma delas uma das causas (i.e. a brigada Bi investiga a causa Ci). Suponha que:

i) As três causas de desaparecimento são igualmente prováveis; ii) A probabilidade da brigada Bi ser bem sucedida quando de facto o barco desapareceu devido à causa Ci é αi, com α1=0.1, α2=0.7 e α3=0.8. Sabendo que a investigação da brigada B2 resultou infrutífera, calcule a probabilidade de: a) O barco ter sido sequestrado.

P(C 2 / B2 )

P(C 2 ) P( B2 / C 2 ) P ( B2 ) 1 (1 0,7) 3 1 1 *1 * (1 0,7) 3 3

P(C 2 ) P( B2 / C 2 ) P(C1 ) P( B2 / C1 ) P(C 2 ) P( B2 / C 2 ) P(C 3 ) P( B2 / C 3 ) 0,1 0,7667 0,13

1 *1 3

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b) O barco ter sido destruído por um temporal.

P(C 3 / B2 )

P(C 3 ) P( B2 / C 3 ) P ( B2 )

1 *1 3 0,7667

0,435

9. Nas eleições para a Câmara Municipal concorrem 5 partidos: A, B, C, D e E. Devido à crescente bipolarização da vida política, apenas dois destes partidos têm possibilidade de as vencer: A e B. Apesar de se saber que a ordenação das siglas partidárias nos boletins de voto é feita aleatoriamente, é também conhecido que se os dois partidos, A e B, surgirem juntos no boletim de voto o partido A ganha com 75% de probabilidade se as siglas destes dois partidos surgirem separadas, ambos têm a mesma probabilidade de ganhar.

a) Qual a probabilidade das siglas dos partidos A e B aparecerem juntas nos boletins de voto?

S " siglas juntas noboletim de voto" 4! 1 P( S ) 0, 2 5! 5

b) Qual a probabilidade de ser o partido A o vencedor?

A " partido A ganha" B " partido B ganha" P( A) P( A / S ) P( S ) P( A / S ) P( S ) 0,75 * 0,4 0,5 * 0,6 0,6

c) Sabendo que o partido A ganhou as eleições, qual a probabilidade das siglas dos partidos A e B terem aparecido juntas?

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P( S / A)

P( S ) P( A / S ) P( S ) P( A / S ) P( S ) P( A / S )

0,4 * 0,75 0,6

0,5

d) Através do suborno da comissão de eleições, o partido A consegue garantir que a sua sigla fica junto à do partido B. Porém, caso esta falcatrua seja descoberta, o partido A é excluído das eleições. A pergunta é: qual o valor da probabilidade da falcatrua ser descoberta a partir do qual não é atractivo subornar a comissão?

D " falcatrua descoberta"

P * ( A) " o partido ganha com suborno"

Vamos ter de comparar P(A) com P * (A); dica : o partido A ganha com suborno com D ou D. P * ( A) P( A) P( D) P( A / D) P( D) P( A / D) P( D) * 0 P * ( A) 0,6 1 P( D) * 0,75 P( D) 1 P( D) * 0,75 1 P( D) * 0,75

0,2. Para cima de 0,2 é sempre pior ,

ou seja, torna se cada vez menos atractivo subornar a comissão.

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Capítulo um Distribuições Discretas Revisão e aprofundamento do que sabe ou devia saber de ADP

1. Seja a variável aleatória X cuja função de distribuição é:

X F(x)

1 0.1

2 0.4

3 0.9

4 1.0

a) Represente graficamente F(x) em todo o domínio R.

b) A partir de F(x) deduza a função de densidade, f(x). Represente as duas funções conjuntamente de modo a perceber bem a relação entre elas.

c) Calcule quer por F(x) quer por f(x).

P( X

2), P( X 1), P(1 X

3), P( X

2| X

3)

d) Construa a função de densidade da nova variável Y=3X+2.

e) Calcule E(X), V(X), E(Y) e V(Y).

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Resolução a)

1

2

3

4

Faça qualquer coisa: marque os valores nas ordenadas.

b)

X f(x)

1 0.1

2 0.3

3 0.5

4 0.1

1

2

3

4

1

2

3

4

Faça qualquer coisa: marque os valores nas ordenadas.

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d) Construa a função de densidade da nova variável Y=3X+2.

X f(x)

1 0.1

2 0.3

3 0.5

4 0.1

Y f(y)

5 0.1

8 0.3

11 0.5

14 0.1

e) Calcule E(X), V(X), E(Y) e V(Y).

E( X ) 1*0.1 2*0.3 3*0.5 4*0.1 2.6

E( X 2 ) 12 *0.1 22 *0.3 32 *0.5 42 *0.1 7,4 V (X )
E (Y )
2 X

7,4 2.62 0,64
2) * 0.3 (3 * 3 2) * 0.5 (3 * 4 2) * 0.1 9,8

(3 * 1 2) * 0.1 (3 * 2

ou

E (Y )

E (3 X

2) 3E ( X )

2 3 * 2,6

2 9,8

E (Y 2 ) (3 * 1 2) 2 * 0.1 (3 * 2 2) 2 * 0.3 (3 * 3 2) 2 * 0.5 (3 * 4 2) 2 * 0.1 101,8

ou

E (Y 2 )

E (3 X

2) 2

E (9 X 2 12 X

4) 9 E ( X 2 ) 12 E ( X ) 4

9 * 7, 4 12 * 2,6 4 101,8

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V (Y )

Y

2

101,8 9,8 2

5,76

2. A função de probabilidade de uma variável aleatória X é a seguinte:

f ( x)

2 x , x 1,2,3, ... 0, outros valores de x

a) Verifique que de facto f(x) é uma função de probabilidade discreta b) Calcule E(X)

a)

2 x 1

x x

1 x 1 2

1 2

1 4

1 .... 8

1 Trata-se da série geométrica de primeiro termo igual a 2 e razão idêntica.
A soma da série geométrica é

S

u1 1 r

1 2 1 1 2

1

Além disso f ( x )

0.

Estão cumpridas as duas condições que definem uma função de probabilidade discreta.

a) Calcule E(X)

E X

1.

1 1 1 2. 3 .... 2 4 8

É uma serie chamada aritmético geométrica. Possivelmente não ouviu falar dela.

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O termo geral é da forma

un

nr n

1

A soma dos termos da série é

1 2r 3r 2 4r 3 .... ...

1 1 r
2

A nossa série precisa de um ajustamento para ter aquela configuração:

E X

1.

1 1 1 2. 3 .... 2 4 8

1 1 1 1 2 3 2 2 2 2

4

1 ... 23

No interior do parentese está a série aritmetico geométrica

E X

1 2

1 1 1 2
2

2

3. Uma caixa contém 10 bolas: 9 brancas e uma preta.

a) Seja a variável aleatória X que designa o número de bolas brancas a retirar, sem reposição, até que saia a bola preta; construa a função de densidade de X. b) Seja a variável aleatória Y que designa a ordem em que sai a bola preta, sempre sem reposição; construa a função de densidade de Y. c) Comente os resultados obtidos em a) e b). d) Repita o exercício anterior com reposição. Note que não fica limitado a 10 extracções. O que se passa é até muito diferente.

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Proposto: 4. Considere a variável aleatória X com a função de probabilidade:

X f(x)

-2 1/5

-1 1/4

0 1/6

1 1/10

2 17/60

a) Verifique que, de facto, se trata de uma função de probabilidade; calcule E(X) e V(X). b) Determine a função de probabilidade de Y

X3

3X 2

2 X . Calcule E(Y) e V(Y).

5. Considere a função de probabilidade da variável X, f ( x ) a) Deduza F(x); represente graficamente f(x) e F(x).

x , x 1,2,3,4 . 10

b) Calcule o valor médio e a variância de X. Localize o valor médio no domínio de valores de X e diga porque não é E(x)=2,5 como poderia parecer de repente.

Vamos fazer tudo num quadro excel: a) e b)

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c) Confirme o valor médio e a variância pela função geradora de momentos.

M t M' t M' 0

E etx 1 t e 10

1 t e 10 2 2 2t e 10

2 2t e 10 3

3 3t e 10 4

4 4t e . 10

3 3t e 10

4 4t e 10

1 4 9 16 10 10 10 10

3 E X

M '' t M '' 0

1 t e 10

4

2 2t e 10 27 10

9

3 3t 4 e 16 e 4t 10 10

1 8 10 10

64 10 E X 2 10

V X

M '' 0

M' 0

2

10 9 1

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6. Relativamente à variável X sabe-se que E(X)=6 e que E(X2)=62.

a) Seja Y=2X+3 uma outra variável aleatória; determine E(Y) e V(Y).

V X

E X2

E2 X

62 36 26

E Y V Y

E 2X 3 V 2X 3

E 2X V 2X

E 3 V 3

2E X 4V X

E 3 0 104

15

b) Determine E(W) e V(W) para uma variável aleatória genérica W=aX+b.

E W V W

E aX b V aX b

aE X a 2V X

E b V b

aE X a 2V X

b

É com prazer que propomos ao aluno o exercício 7 para rever a distribuição binomial:

7. Sabe-se que 40% das pessoas contactadas por um angariador de seguros fazem um seguro de vida. Isto é a maneira habitual de dizer que a probabilidade de que uma pessoa faça um seguro é 0.4. Calcule as seguintes probabilidades: a) Pelo menos uma pessoa em 50 contactadas fazer o seguro de vida. b) No máximo 99 em 100 pessoas contactadas fazerem o seguro de vida. c) No máximo 3 em 10 fazerem o seguro de vida. d) Qual a distribuição (ou densidade) que segue a variável número de seguros de vida realizados em 100 entrevistas? Calcule os respectivos valor médio e variância. Qual a lógica do valor encontrado para o valor médio?

8. Das chamadas telefónicas que se dirigem a uma empresa, 30% são para a administração, 20% para a fábrica e as restantes 50% dirigem-se aos serviços administrativos.

Considere 10 chamadas que vão ser recebidas pela empresa.

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a) Qual a lei de probabilidade da variável aleatória número de chamadas para a administração? Calcule os respectivos valor médio e variância. b) Usando a informação obtida em a), calcule a probabilidade de pelo menos 2 chamadas serem para a administração. d) Calcule a probabilidade de exactamente 3 serem para a administração e 5 para os serviços administrativos (implicitamente sobram duas a fábrica...). Diga porque não pode calcular esta probabilidade recorrendo a a).

É com prazer que propomos ao aluno o exercício 9 para rever a distribuição binomial: 9. Um estudo encomendado pela empresa de material escolar “Papel e borrachinhas” permitiu apurar que

60% dos trabalhadores mantinham uma atitude cooperativa face à empresa, 30% uma atitude hostil 10% uma atitude neutra.

Qual a probabilidade de num grupo de 10 trabalhadores:

a) Pelo menos 6 terem uma atitude hostil. Qual a lei de probabilidade associada à definição “número de trabalhadores, em 10, com uma atitude hostil”? b) No mínimo dois terem uma atitude bem definida. c) Qual o número esperado de trabalhadores com atitude hostil em 100?

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10. Determinou-se estatisticamente que, em média, em cada 5 licenciados pela NOVA SBE, só um não fica admirado quando se lhe pede que multiplique 10x30 de cabeça. Isto é uma maneira complicada de dizer que...... Uma empresa colocou anúncios nos jornais a que respondeu um elevado número de licenciados da FEUNL. Esta é uma hipótese académica pois os licenciados da FEUNL têm, em geral, excelentes empregos e não respondem em massa a anúncios...

a) Determine a distribuição da variável aleatória número de candidatos a entrevistar até se encontrar o primeiro com aquela característica fabulosa. Verifique que está perante uma lei de probabilidade.

Determinou-se estatisticamente que, em média, em cada 5 licenciados pela NOVA SBE, só um não fica admirado quando se lhe pede que multiplique 10x30 de cabeça. Isto é uma maneira complicadade dizer que só 20% dos licenviados da NOVA SBE são capazees de fazer tal cálculo sem máquina.

Trata-se da distribuição geométrica. Atenção à especifiação da variável. Pode ser feita com base na ordem do primeiro sucesso ou no número de provas antes do primeiro sucesso. Neste caso é claramente o primeiro caso.

X P(x)

1 0,2

2 3 4 5 6 ... 2 3 4 5 0,2x0,8 0,2x0,8 0,2x0,8 0,2x0,8 0,2x0,8

A soma das probabilidades

0, 2 0, 2 0,8 0, 2 0,82

0, 2 0,83 ...

é a soma da série geométrica de primeiro termo 0,2 e razão 0,8.

S

u1 1 r

0, 2 0, 2

1

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b) Certa manhã, 5 candidatos que vão ser entrevistados. Sabe-se que um deles tem essa característica. Determine a distribuição da variável aleatória número de entrevistas necessárias até se achar o referido candidato. Verifique que está perante uma lei de probabilidade.

O craque será o primeiro, o segundo, o terceiro, o quarto ou o último.

X P(x)

1 1/5

2

3

4

5

4/5x1/4 4/5x3/4x1/3 4/5x3/4x2/3x1/2 4/5x3/4x2/3x1/2x1

Verifique que cada probabilidade dá 1/5, donde a soma dá 1.

11. De um lote de 100 peças, das quais 20 são defeituosas, escolheu-se ao acaso uma amostra de 10. Calcule a probabilidade de nessa amostra: a) Haver 3 peças defeituosas. b) Haver 5 peças defeituosas.

12. O número de chamadas que chegam num período de 5 minutos à central telefónica de uma empresa é uma variável de Poisson, de parâmetro
5m

10 .

a) Represente a função de probabilidade da variável aleatória em questão a partir do ficheiro excel disponibilizado no site da cadeira

X X

" Número de chamadas que chegam à central, em 5 minutos" P( 10)

5m

f(x)

e-10 10 x ,x x!

0,1, 2,...

Calcule a probabilidade de, num período de 5 minutos:

b) Chegarem exactamente 8 chamadas.

P( X

8)

f (8)

e 10 10 8 8!

0,1126
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c) Chegarem menos de 5 chamadas.

P( X

5)

f (0)

f (1) ...

f (4)

F (4)

0, 029 (tabelas no site)

d) Chegarem no mínimo 3 chamadas.

P( X

3) 1 P( X

3) 1 F (2) 1 0,003

0,997 ( tabelas)

e) Chegarem pelo menos 20 chamadas.

P( X

20 ) 1 F (19 ) 1 0,997

0,003 (tabelas)

f) Não chegar chamada nenhuma.

P( X

0)

f (0)

e 10 10 0 0!

e 10

0,00004

g) Qual a probabilidade de, num período de 10 minutos, chegarem à central 16 chamadas?

Y "Número de chamadas que chegam à central em 10 minutos" Y P(λ10 m 20) e
20

P(Y

16)

f (16)

2016 16!

0, 0646

h) Qual o número esperado de chamadas em 1 minuto? Escreva a respectiva lei de probabilidade.

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Z " Número de chamadas que chegam à central por minuto" Z P( 1m
1m

2) 2

f ( z)

e 2 2z ,z z!

0, 1, 2, ...

E (Z )

i) Qual o número esperado de chamadas numa hora? Escreva a respectiva lei de probabilidade.

W " Número de chamadas que chegam à central em 60 minutos" W P( 60m 120 ) f ( w) e 120 120 w , w 0, 1, 2, ... w!

E (W )

60m 120

j) Qual o tempo médio entre chamadas para cada uma das leis de probabilidade encontradas nas alíneas anteriores? Comente os resultados encontrados.

O tempo médio entre chamadas é dado pelo quociente : 5 min 5m 10 10 min 10m 20 1 min
1m

período de tempo parâmetro λ

2

60 min 60m 120

0,5

Em média, o tempo entre chamadas é de meio minuto (trinta segundos)! Este resultado pode ser encontrado a partir de qualquer uma das alíneas anteriores .

k) Uma chamada acabou de chegar. Qual a probabilidade que a seguinte chegue nos próximos 15 minutos?

Resolva este problema partindo das distribuições de Poisson para 5 minutos e para 1 minuto e observe a igualdade (inevitável!) dos resultados.

As ocorrências em cada período de 15 minutos são regidas por uma lei de Poisson com
3*10 30 .

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A pergunta corresponde à seguinte: qual a probabilidade que em quinze minutos chegue pelo menos uma chamada?

A
P A 1

Poisson

30
1 e
30

1 P A 0

1 f 0

300 0!

1 e

30

Partindo da lei de Poisson para um minuto, com
15 minutos terá parâmetro

2 , vemos que a lei de Poisson para

2*15 30 .

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13. Uma firma de aluguer de automóveis dispõe de 4 veículos, que aluga ao dia. Sabe-se, pela experiência passada, que o comportamento da procura diária de veículos pode ser traduzido adequadamente por uma distribuição de Poisson com

3.

a) Qual o número médio de veículos procurados por dia? E a variância? b) Qual o número médio de veículos procurados por semana de 7 dias? E a variância? c) Porque será que a variância semanal é maior do que a diária se, no fundo, se trata de multiplicar por sete o número de alugueres? (esta frase é uma séria candidata às olimpíadas da asneira!) d) Qual a probabilidade da procura semanal ser igual a 28 veículos? e) Qual a probabilidade de em todos os dias da semana serem procurados mais de 5 veículos? f) Qual a probabilidade de durante um mês de 30 dias a procura ser exactamente o número de veículos igual ao número esperado. Porque será essa probabilidade tão baixa se afinal é a probabilidade do número esperado? g) Determine a probabilidade de, num dia, um dos veículos não ser alugado. h) Determine o valor esperado do número de clientes que, em cada dia, não podem ser atendidos por já estarem alugados todos os veículos. i) Admitindo que a frota era acrescida de um veículo, calcule a probabilidade de, em cada semana, a procura ser suficiente para que este veículo adicional seja alugado pelo menos uma vez.

14. Uma moeda não viciada é lançada duas vezes. Seja X o número de caras nesses dois lançamentos. a) Deduza a função de probabilidade de X. b) Encontre a sua função geradora de momentos. c) Utilize-a para determinar os respectivos valor médio e variância.

15. Um retalhista vende um produto cuja procura se tem comportado segundo uma distribuição de Poisson. Nos últimos 300 dias seguiu uma política de adquirir 8 artigos por dia tendo verificado que, em 21 desses dias, o seu stock não chegou para satisfazer as encomendas. No mínimo, quantos produtos deverá ele passar a adquirir por dia se quiser fazer baixar para 3% a probabilidade de ruptura de stock?

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Nota: O produto é salada de alface que é vendida no próprio dia ou inutilizada, não há stocks para o dia seguinte.

16. A distribuição da produção mensal da empresa Floresta de Campolide é uma variável aleatória que tem valor médio 100 e desvio padrão 10. a) Se houver um aumento geral de 3% na produção mensal, qual o novo valor médio e o novo desvio padrão? b) E se houver um aumento geral, mas fixo, de 10 unidade na produção mensal, quais serão os valores dos parâmetros? c) E se se der a) e b) simultaneamente?

17. Numa sondagem, 40 por cento dos inquiridos respondeu SIM, 30 por cento respondeu NÃO e os restantes responderam TALVEZ. (Teste Intermédio 8 Novembro 2003)

a) Calcule a probabilidade de em 10 pessoas, no máximo 2 terem respondido NÃO.

X X P( X

" Número de pessoas , em 10, que respondera m NÃO" b(10; 0,3) 2) F (2) f (0) f (1) f (2)
10

C 0 0,30 0,710

10

C1 0,310,7 9

10

C 2 0,3 2 0,7 8

0,383

b) Em média, quantas pessoas é que responderam SIM quando são inquiridas 15 pessoas?

Y " Número de pessoas , em 15, que respondera m SIM " Y b(15; 0,4) E (Y ) np 15 * 0,4 6
c) Qual a probabilidade de ter de inquirir 15 pessoas até encontrar 5 que responderam NÃO?

Z " Número de pessoas a inquirir até encontrar 5 que respondam NÃO" Z bin. neg.(r 5; p 0,3) P( Z 15)
14

C 4 0,35 0,710

0,069

d) Qual a probabilidade de em 10 pessoas, 5 terem respondido SIM e 2 terem respondido NÃO?

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X 1 " Número de pessoas , em 10, que respondem SIM " X2 " Número de pessoas , em 10, que respondem NÃO" X 3 " Número de pessoas , em 10, que respondem TALVEZ " ( X1; X 2 ; X 3 ) P( X 1 5; X 2 Multinomial 2; X 3 3) 10! 0,4 5 0,3 2 0,33 5! 2! 3! 0,063

18. Considere o seguinte relatório do Departamento de Qualidade da Empresa Mete Aqui o Pé: “O número de avarias na nossa linha de montagem de chinelos de quarto que funciona ininterruptamente segue uma lei de Poisson com parâmetro

1 por hora. Se existirem

mais de 12 avarias a linha pára para ser limpa, implicando custos de 200 euros”. Com base neste relatório responda às seguintes questões:

Sendo...

X " Número de avarias que ocorrem, por hora, nalinha de montagem" X P( 1) Y "Número de avarias que ocorrem, em 24 horas, na linha de montagem " Y P(λ=24)

a) Qual a probabilidade de haver mais de 1 avaria por hora? b) Considere um período de 5 horas. Qual a probabilidade de haver 2 ou menos avarias nesse intervalo de tempo? c) Qual a probabilidade de em 24 horas de funcionamento haver 22 e só 22 horas sem falhas? d) Qual o custo médio por cada período de 8 horas motivado pelas paragens da linha?

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Capítulo 2
Distribuições Contínuas

1. Um exercício de referência

Considere a variável aleatória X que tem a seguinte função de densidade

f ( x)

3 (4 x 16

x 2 ),

x

0 ,2

a) Verifique que se trata de uma função de densidade; desenhe-a.

3 (4 x 16 0

2

3 x 2 )dx 2x 2 16

x3 3

2

0

3 8 16

8 3

1

0

2

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b) Calcule a função de distribuição F(x);

F ( x)

3 (4 x x 2 )dx 16 0

x

3 2 1 3 x x 8 16

1

0

2

c) Com base em F(x) calcule as seguintes probabilidades:

P( X

1)

F (1)

P( X
P( X

1)

F (1)
0.2) 1 F (0.2)

0.2) 1 P( X

P( X

5)

P( X
P( X

1| X
1.5 | X

1.5)
1)

d) Calcule os três parâmetros clássicos desta distribuição

E( X )

Valor esperado ou valor médio
2

V (X )
V (X )

Variância Desvio padrão

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2

Е ( x)
0

x

3 (4 x x 2 )dx 16

3 (4 x 2 16 0

2

x 3 )dx

5 1, 25 4

Faz sentido graficamente?

2

V (X )

Е (X

)2
0

(x

)2

3 (4 x x 2 )dx 16

0, 2375

Lembre-se que há uma fórmula alternativa. Verifique o valor recorrendo a essa fórmula:

2

V ( X ) Е( X 2 ) E 2 ( X ) Е( X 2 )

2

V (X )

Bom, este será o mais trabalhoso!...

e) Determine os pontos x1 e x 2 tais que

P( X

x1 ) x2 )

0.1

P( X

0.05

O ponto x1 é o que, em ADP chamariam percentil 90. Nesta nossa Estatística o cálculo destes pontos tem uma importância muito especial; assim x1 será tal que

x1

3 (4 x 16 0

x 2 ) 0.9 ou, talvez mais operacional F ( x1 ) 0.9

F ( x)

3 (4 x x 2 )dx 16 0

x

3 2 1 3 x x 8 16

0,9

x 1,866

Não esqueça o outro. Faça por SW.

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2. Uma variável aleatória X tem a seguinte função de densidade de probabilidade:

1 f(x)= 1.5-x 0

0< x 0,25) iii) P(X ≤ 0,25 | X > 0,25)

3. Considere a densidade de probabilidade

f x

3x 2 , 1 x 0 0, outros

a) Verifique que é de facto uma função de densidade; b) Determine F(x). c) Recorrendo a F(x) calcule d) Calcule o valor esperado e a variância desta variável aleatória. e) Calcule P(
X X

X

X

X

)

Esta alínea tem muitas contas e os alunos têm de desenferrujar as calculadoras!

4. O salário horário num dado sector da economia tem a seguinte distribuição de probabilidade:
128 x3

f (x )

x 8

0

outros

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a) Qual o salário mínimo neste sector? E o salário médio?

Salário mínimo: 8 Salário médio: E X
8

128 dx 16 x3

b) Qual o número esperado de trabalhadores que auferem exactamente o salário mínimo? E o salário médio? Comente o resultado aparentemente estranho!

Em ambos os casos o valor é zero. As razões foram largamente abordadas nas aulas teóricas.

c) Em negociação colectiva foi acordado conceder I aumentos de 25% para os salários horários inferiores a 12 II aumentos de 20% para os superiores a 12; mas para este segundo grupo o aumento não pode ser inferior a 3. Calcule o novo salário médio.

Seja Y a variável que designa o novo salário:

8 1,25X

12 3+X

15 1,2X

A primeira parte não levanta problemas: 25% de aumento Na segunda tranche apenas os ordenados de 12 passariam a 15 com os 20% de aumento; nesta tranche há pois um aumento fixo de 3 No terceiro grupo não há problema: o aumento de 20% é sempre superior a 3.

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Para o cálculo da nova média recordemos a formula

E g X

g x f x dx

Esta fórmula relembra que a variação de X é regida por f(x) e que não há influência de g(x) no caracter aleatório de X. Veja as notas teóricas sobre o assunto.

12

E g X
8

1, 25 x

128 dx x3

15

x 3
12

128 dx x3

1, 2 x
15

128 dx 19,52 x3

5. O director de compras de uma empresa pretende definir uma política de aquisição de matéria-prima para o próximo ano. As necessidades diárias de matéria-prima (em 1000 ton.) são uma variável aleatória com função densidade.:

f ( x) 1

x , 0 2

x

2

a) Determine F(x) b) Determine a mediana, ou seja o ponto x M tal que P( X

x M ) 0.5

c) Qual o nível mínimo de abastecimento que deve ser assegurado diariamente por forma a que a probabilidade de ruptura de stocks não exceda 0.02? d) Suponha que os stocks de matéria-prima são mantidos ao nível acima estabelecido. A administração propôs dar-lhe um prémio de 10 EUR por cada dia em que não houvesse ruptura mas cobrar-lhe uma multa de 5000 EUR sempre que elas se registassem. Pensa que o director deve aceitar esta proposta?

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6. A percentagem de impurezas que certa componente contém pode ser considerada uniformemente distribuída entre 1% e 3%. Seja X a percentagem de impurezas presente numa componente.

a) Esboce a sua função de densidade de probabilidade. b) Deduza e represente a função de distribuição.

f ( x)

1 2

1

3

1

3

F ( x)

0, x 1 x 1 ,1 x 3 2 1, x 3

c) Qual a probabilidade de uma componente escolhida ao acaso ter uma percentagem de impurezas superior a 2%?

Nem vale a pena fazer cálculos, é 50%.
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d) Três componentes são escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade de pelo menos uma delas ter uma percentagem de impurezas superior a 2%?

Seja Z o número de componentes em 3 com aquela característica.

Z

Bin n 3, p

0,5

P Z 1

1 P Z

0

1 0,53

0,875

7. Na produção de petróleo, a temperatura de destilação T (em graus Celsius) é decisiva na determinação da qualidade do produto final. Suponha-se que T é considerada uma variável aleatória uniformemente distribuída em [150 , 300]. Admita-se que produzir um barril de petróleo custa C1 euros. Se o óleo for destilado a uma temperatura inferior a 200 graus, o produto é conhecido por nafta e é vendido por C2 euros por barril. Se o óleo for destilado a uma temperatura superior a 200 graus, o produto é denominado óleo refinado e é vendido por C3 euros por barril. Determine o lucro líquido esperado por barril.

8. Seleccionam-se, ao acaso, números no intervalo [0,1]. Quer isto dizer que estamos perante a lei de probabilidade uniforme em [0,1].

a) Se se escolherem 10 números, qual a probabilidade de que exactamente 6 sejam inferiores a 1/2? b) Se se escolherem 10 números, em média quantos são inferiores a 1/2? c) Determine a probabilidade de ser necessário seleccionar 10 números até aparecerem dois inferiores a 1/3.

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9. Suponha que a variável aleatória X, horas de trabalho sem falha de um dispositivo, segue uma lei exponencial com λ =0.2

a) Esboce as funções de densidade e de distribuição.

f ( x) 0,2 e

0, 2 x

F ( x) 1 e

0, 2 x

b) Relembre o valor médio, a variância e a função geradora de momentos desta lei.

E( X )

1

1 0,2

5

V (X )

1
2

1 0,2 2

25

b

M X (t )
0

e

tx

e

x

dx
0

e

x tx

dx
0

e

(

t)x

dx lim b 0

e

(

t)x

dx lim b e( (

t)x

b

t)

0

( M X (t ) M X (t )

t) * ( 1) ( t)2 2 ( (

t ( t)
2

E( X ) 2 V (X )

M X (0) M X (0)

1
2

1 0,2
2

5 2
2

t )( 1) t)4

(

t)

3

M X (0)

1

2

1
2

25

c) Calcule P ( X

5) , P ( X

1) , P( X

5| X

1) , P( X

5| X

10)

P( X P( X

5) 1)

F (5) 1 e F (1) 1 e

0, 2*5

1 e 1 e

1

0, 2*1

0.2

P( X

5/ X

1)

P( X 5 P( X

X 1) 1)

P( X P( X

5) 1)

1 F (5) 1 F (1)

e1 e 0, 2

1 e 0 ,8
1 2

P( X

5/ X

10)

P( X 5 P( X

X 10) 10)

P( X 5) P( x 10)

F (5) F (10)

1 e 0, 2*5 1 e 0, 2*10

1 e 1 e

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d) Calcule, P ( X propriedade?

10 | X

7) е compare com

P( X

3) ; como se chama esta estranha

P( X 1 e

10 / X
0,2*10

7) 1 e

P( X
0,2*7

10 X 7) P( X 7) e
2

P(7 X 10) P( X 7)
0,6

F (10) F (7) 1 F (7)

e
1,4

1,4

e P( X 3)

0,2*7

e
0,2*3

1 e

F (3) 1 e

1 e

0,6

Calcular a probabilidade do tempo de trabalho sem falha ser inferior a 10 horas, sabendo que é superior a 7 horas, equivale a calcular a probabilidade do tempo sem falha ser inferior a 3 horas. Isto porque a distribuição exponencial, à semelhança da Poisson, não tem memória.

e) Determine a probabilidade de o dispositivo trabalhar sem falha nas primeiras 100 horas de funcionamento.

P(T 100) 1 P T 100

1

1 e

0,2 100

e

20

f) Sabendo que o dispositivo não falhou nas primeiras 100 horas, qual a probabilidade de não falhar nas 100 horas seguintes?

P(T

200 | T 100)

P T

200 T 100 P T 100

P T

200

P T 100

e e

40 20

e

20

g) Que distribuição segue o número de falhas por unidade de tempo? Use essa distribuição para responder às duas alíneas anteriores.

Repetindo e)

A distribuição do número de falhas por unidade de tempo segue uma lei de Poisson com o mesmo . Ora se =2 por hora, será =20 por cada 100 horas.

P X

0| X

Poisson

20

e

20

200 0!

e

20

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Repetindo f)

P(T

200 | T 100)

P W200

0 | W100

0

e

20

A lei de Poisson é independente do ponto onde o intervalo começa.

10. Uma empresa vende um determinado tipo de peças cuja duração, em centenas de horas, é uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição:

F ( x) 1 e

x

, x 0

A empresa possui em stock duas qualidades distintas desse tipo de peças: à qualidade A corresponde o parâmetro λ=1/2 e à qualidade B o parâmetro λ =1.Como sabe, aquela função de distribuição indica que a densidade respectiva é a exponencial.

a) De um lote formado por 100 peças do tipo A e 50 do B, retirou-se ao acaso uma peça, cuja duração foi ensaiada. Em relação ao resultado deste ensaio, sabe-se apenas que a duração foi inferior a 90 horas. Calcule a probabilidade de a peça escolhida ser do tipo B. b) Supondo que esta agora perante um lote de 20 pecas do tipo A qual a probabilidade que metade dure menos que o respectivo valor médio e a outra metade mais do que o seu valor médio?

11. Admitindo que a duração de uma lâmpada eléctrica segue uma distribuição normal, com uma média de 2000 horas e um desvio padrão de 250 horas, determine a probabilidade de uma lâmpada escolhida ao acaso ter duração: a) Inferior a 1900 horas. b) Superior a 2000 horas. c) Inferior a 100000000 horas d) Inferior a 1 hora. e) Compreendida entre 1800 e 2000 horas. f) Inferior a 1500 horas.

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X " Duração deuma lâmpada eléctrica " X 2000 250 1900 2000 250

X

N (2000;2502 )

a) P( X

1900)

P

0, 4

1

(0, 4) 1 0,6554 0,3446

b) P ( X
c) P( X

2000 ) 1 P
100000000 )

X

2000 250
X 2000 250

2000 2000 250

1

0

0,5
399992 1

P

100000000 2000 250

d ) P( X

1)

P

X

2000 250

1 2000 250

7,996

1

7,996

1 1 0

e) P(1800

X

2000 )

P

1800 2000 X 2000 2000 2000 P 0,8 Z 0 250 250 250 0 0,8 0,5 1 0,8 0,5 0,7881 0,2881

f ) P( X

1500 )

P

1500 2000 250

2

1

2

1 0,9772

0,0228

12. Determinada companhia possui em carteira dois lotes de acções, um no valor de 10.000 EUR. (lote A) e outro no valor de 2.000 EUR. (lote B). Os proveitos que a companhia espera obter destes títulos no decurso do próximo ano supõem-se variáveis aleatórias (independentes) X e Y com distribuição normal, de parâmetros: Lote X Y μ 1000 500 σ 200 250

a) Calcule a probabilidade de os lucros da companhia nos referidos títulos se situarem entre 1180 e 1500 EUR. b) Os técnicos da companhia prevêem que as autoridades aumentem a carga fiscal sobre os ganhos de capital. A taxa de imposto previsível (em %) supõe-se variável aleatória com distribuição uniforme definida entre 20% e 30%. Qual o montante esperado que a companhia pagará de imposto? (Nota: A taxa de imposto é independente dos lucros da companhia)

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13. O diâmetro interior de um tubo cilíndrico sujeito a pressões num mecanismo de alta precisão é uma variável aleatória X com distribuição normal, de valor médio 3 cm e desvio padrão 0.02 cm. A espessura Y, do mesmo tubo, é igualmente uma variável com distribuição normal, de valor médio 0.3 cm e desvio padrão 0.005 cm e independente de X. a) Calcule o valor médio e o desvio padrão do diâmetro exterior do tubo. b) Qual a probabilidade do diâmetro total do tubo exceder 3.62 cm ? 14. A variável aleatória X tem distribuição χ2 com 15 graus de liberdade. Com recurso às tabelas electrónicas

a) Identifique os decis da distribuição; b) Encontre dois valores a e b tais que: P(a
X b) 0.95 . Os valores

encontrados são únicos? Em caso negativo, obtenha valores alternativos.

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15. Uma variável aleatória X tem função de densidade dada por: f ( x)

e

x

, x 0

Determine as funções de densidade e distribuição das variáveis aleatórias

a) Y

log X

Para ajudar à compreensão do problema vamos designar por F e f respectivamente as distribuições e as densidades. O índice de variável precisa de qual estamos a falar.

Se

f X ( x)

e

x

FX ( x) 1 e

x

Mas o problema pede fY ( y) e FY ( y)

FY ( y )

P(Y

y)

P(log X

y)

P( X

ey )

FX (e y ) 1 e

ey

f ( y)

FY ( y)

e ye

ey

ey

ey

Mas qual o domínio de Y? É sabido que se Y

log X , então

Y

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b) Z= X .

FZ z

P Z

z

P

X z2 z

P X

z2

1 e

z2

, z

0

F 'Z z

f 'Z z

2 ze

, z

0

Determine as funções de distribuição das variáveis:

c)

Y

1, 2,

X X

1 1

Observação: Y é uma variável aleatória discreta.

x=1

X

1

Y

1

P X

1

1 e
1 e e x x

x

fY y

,y 1 2

,y

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d)

Z

1, 2

X X,

1 X 1

16. Considere a seguinte função:

f ( x)

1 x e ,x 2

R

Prove que se trata de uma função de densidade.

f ( x)

0 x 0

1 e 2

1 x e xd 2

0

1 x e dx 2

1 2

ex

0

e

x 0

1

17. O tempo de duração de pequenos anúncios (entre 5 a 12 segundos) numa cadeia de televisão é aleatório, admitindo-se seguir uma distribuição uniforme. a) Indique a respectiva função de probabilidade.

b) Qual a probabilidade de um anúncio ter uma duração inferior a 8 segundos? E de ter entre 8 a 12 segundos? c) Qual a duração média por anúncio? d) Confirme o resultado anterior com recurso à respectiva função geradora de momentos.

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18. Suponha que o consumo de água num dado dia da semana, numa determinada localidade, segue a distribuição normal de média 200 m3 e desvio padrão 10 m3. A capacidade do reservatório que abastece a dita localidade é de 4240 m3. Sempre que o nível da água no reservatório cai 10% abaixo da sua capacidade é accionado um sistema de alarme. a) Qual a probabilidade de o consumo num dado dia da semana estar compreendido entre 180 m3 e 235 m3? b) Ao longo de uma semana (5 dias úteis), qual a probabilidade de, em 2 desses dias, o consumo estar compreendido entre 180 m3 e 235 m3?

19. O comprimento de certo tipo de peixe existente numa barragem segue uma distribuição normal, com média de 25cm e desvio padrão de 10cm. A fim de preservar a espécie na barragem, decidiu-se que só seria permitida a pesca desse peixe quando ele apresentasse comprimento igual ou superior a um certo valor. Peixes com comprimento inferior àquele valor, quando pescados, seriam devolvidos à água. a) Calcule o comprimento mínimo dos peixes que podem ser pescados, sabendo que se pretende que apenas 30% dos peixes existentes na barragem venham a ser pescados. b) Assumindo a informação de a), sabendo que um pescador pescou 5 peixes, determine a probabilidade de ter levado para casa pelo menos 2 desses peixes.

20. Os salários na empresa A seguem uma distribuição normal, com média 100 e desvio-padrão 10, e na empresa B seguem a mesma distribuição, com média 90 e desvio-padrão 15. A proporção de trabalhadores que ganha mais de 200 é maior na empresa A do que na empresa B. Verdadeiro ou falso? 21. A procura diária de um produto (em 103 toneladas) é uma variável aleatória cuja f.d.p. é:

f X (x)

6 x(1 x)

0

x

k

0

outros val.

a) Determine k. Qual é o seu significado? b) Um comerciante espera obter um lucro de 80 u.m. se a procura diária se situar entre 40% e 60% da procura máxima, um prejuízo de 10 u.m. se a procura diária for inferior a 20% ou
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superior a 80% da procura máxima e um lucro de 30 u.m. se a procura se situar entre 20% e 40% ou entre 60% e 80% da procura máxima. Calcule o valor esperado do lucro. Face ao resultado, acha que o comerciante deve manter a loja aberta? c) Estabeleça a nova distribuição da procura se esta triplicar.

22. Em determinada empresa a utilização semanal da matéria-prima X é uma variavel aleatória com distribuição normal de parâmetros μ = 600 Kg e σ = 40 Kg. No início de determinada semana, a empresa tem um stock de 634 Kg de matéria-prima, não sendo viável no decurso dessa semana realizar mais aprovisionamentos. a) Determine a probabilidade de ruptura de stock da matéria-prima. b)Qual deveria ser o stock de modo a que fosse de 0.01 a probabilidade da sua ruptura?

23. O montante de depósitos que um jovem preocupado com o futuro efectua, diariamente, no seu mealheiro é uma variável aleatória com distribuição normal com média 120 EUR e variância 64.

a) Determine a percentagem de dias em que o jovem deposita entre 105 e 135 EUR. b) Determine a probabilidade de o montante de depósitos ser superior à média, nos dias em que esse montante é inferior a 125 EUR. c) Determine o limite inferior do montante de depósitos que se verifica em 90% dos dias. d) Supondo que o jovem preocupado apenas deposita dinheiro nos dias úteis (para o poder utilizar nas saídas ao fim-de-semana), determine a média e a variância do montante total de depósitos efectuados semanalmente.

24 Para cada uma das afirmações seguintes, diga se são verdadeiras ou falsas:

a) Todas as distribuições normais são simétricas b) Todas as distribuições contínuas têm um valor esperado finito c) A variância de qualquer distribuição normal é estritamente positiva d) Sem astandardização das distribuições normais seria impossível calcular as respectivas probabilidades e) A standardização da normal corresponde a medir as distâncias em desvios padrão f) Em todas as distribuições normais cerca de 99% da probabilidade está entre -3 e 3 g) Se uma variável aleatória tomar valores estritamente negativos, a sua variância é também negativa h) É impossível que uma função de densidade normal esteja completamente abaixo de outra densidade normal.
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i) Para todas as normais P X j) Para todas as normais P X k) Se na normal standard P a

0

50% 50% X b 95% então a=-1,96 e b=1,96.

l) Toda a distribuição uniforme é simétrica m) A distribuição do qui quadrado tende a ser simétrica. n) Caso uma função de densidade tome alguns valores negativos, a respectiva variância pode ser negativa. o) Caso uma função densidade esteja definida num domínio estritamente negativo, a sua variância é forçosamente negativa.

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25 Um exercício simples de referência para ajudar a compreender uma fórmula fundamental. Apresenta-se este exercício despido de contas para nos concentrarmos no essencial.

a) Considere a função de densidade
1 ( x 1), 2

f x

1 x 3

Calcule E X

.
3 1

E X

x x 1 dx

7 3

b) Seja a variável Y=g(X)=2X. A partir do resultado em a) sabe-se imediatamente que
14 3

E Y

Suponha no entanto que se lhe pede que calcule aquele valor esperado pela fórmula .

E Y

g x f x dx

yh y dy

Em que h(y) é a função de densidade de Y.
14 . 3

Determine h(y) e confirme que E Y

A determinação de h(y) não é muito óbvia e obedece a uma técnica específica y 2

F Y

P Y

y

P 2X

y

P X

y 2

1 x 1 dx 2 1

Ponto da situação: transformámos a pergunta sobre Y numa pergunta sobre X pois nós conhecemos a distribuição de X. Continuemos e percebamos que vamos obter uma função de Y: y 2

1 x 1 dx 2 1

1 2 y 16

1 y 4

1 4

F y

Ora
F' y h( y ) y 8 1 ,2 4 y 6

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Então
6

E Y
2

y

y 8

1 dy 4

14 3

c) Explique por que motivo o seguinte cálculo é errado:

E Y

2 x f 2 x dx

A expressão f(2x) é incompreensível. Não é sequer uma função de densidade como poderá verificar. A aleatoridade de X, de 2X, de lnX ou de outra qualquer função de X, depende da aleatoridade de X e não dos seus travestismos. .

Finalmente note que este resultado é fácil de prever, dadas as propriedades lineares do valor esperado. Se a função g(x) fosse outra já não é dado e pode ser mesmo muito complexo.

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