Control Estadístico de Procesos
Gráficos de Control

Los gráficos de control o cartas de control son una importante herramienta utilizada en control de calidad de procesos. Básicamente, una Carta de Control es un gráfico en el cual se representan los valores de algún tipo de medición realizada durante el funcionamiento de un proceso contínuo, y que sirve para controlar dicho proceso.

Vamos a tratar de entenderlo con un ejemplo.
Supongamos que tenemos una máquina inyectora que produce piezas de plástico, por ejemplo de PVC. Una característica de calidad importante es el peso de la pieza de plástico, porque indica la cantidad de PVC que la máquina inyectó en la matriz. Si la cantidad de PVC es poca la pieza de plástico será deficiente; si la cantidad es excesiva, la producción se encarece porque se consume más materia prima.
Entonces, en el lugar de salida de las piezas, hay un operario que cada 30 minutos toma una, la pesa en una balanza y registra la observación:
[pic]
etc...
Supongamos que estos datos se registran en un gráfico de líneas en función del tiempo:
[pic]
Observamos una línea quebrada irregular, que nos muestra las fluctuaciones del peso de las piezas a lo largo del tiempo. Esta es la fluctuación esperable y natural del proceso. Los valores se mueven alrededor de un valor central (El promedio de los datos), la mayor parte del tiempo cerca del mismo. Pero en algún momento puede ocurrir que aparezca uno o más valores demasiado alejados del promedio.
Cómo podemos distinguir si esto se produce por la fluctuación natural del proceso o porque el mismo ya no está funcionando bien?
Esta es la respuesta que provee el control estadístico de procesos, y a continuación veremos como lo hace.
Todo proceso de fabricación funciona bajo ciertas condiciones o variables que son establecidas por las personas que lo manejan para lograr una producción satisfactoria.
Cada uno de estos factores está sujeto a variaciones que realizan aportes más o menos significativos a la fluctuación de las características del producto, durante el proceso de fabricación. Los responsables del funcionamiento del proceso de fabricación fijan los valores de algunas de estas variables, que se denominan variables controlables. Por ejemplo, en el caso de la inyectora se fija la temperatura de fusión del plástico, la velocidad de trabajo, la presión del pistón, la materia prima que se utiliza (Proveedor del plástico), etc.
Pero un proceso de fabricación es una suma compleja de eventos grandes y pequeños. Hay una gran cantidad de variables que sería imposible o muy difícil controlar. Estas se denominan variables no controlables. Por ejemplo, pequeñas variaciones de calidad del plástico, pequeños cambios en la velocidad del pistón, ligeras fluctuaciones de la corriente eléctrica que alimenta la máquina, etc.
Los efectos que producen las variables no controlables son aleatorios. Además, la contribución de cada una de las variables no controlables a la variabilidad total es cuantitativamente pequeña. Son las variables no controlables las responsables de la variabilidad de las características de calidad del producto.
Los cambios en las variables controlables se denominan Causas Asignables de variación del proceso, porque es posible identificarlas. Las fluctuaciones al azar de la variables no controlables se denominan Causas No Asignables de variación del proceso, porque no son pasibles de ser identificadas. Causas Asignables: Son causas que pueden ser identificadas y que conviene descubrir y eliminar, por ejemplo, una falla de la máquina por desgaste de una pieza, un cambio muy notorio en la calidad del plástico, etc. Estas causas provocan que el proceso no funcione como se desea y por lo tanto es necesario eliminar la causa, y retornar el proceso a un funcionamiento correcto.
Causas No Asignables: Son una multitud de causas no identificadas, ya sea por falta de medios técnicos o porque no es económico hacerlo, cada una de las cuales ejerce un pequeño efecto en la variación total. Son inherentes al proceso mismo y no pueden ser reducidas o eliminadas a menos que se modifique el proceso.
Cuando el proceso trabaja afectado solamente por un sistema constante de variables aleatorias no controlables (Causas no asignables) se dice que está funcionando bajo Control Estadístico. Cuando, además de las causas no asignables, aparece una o varias causas asignables, se dice que el proceso está fuera de control.
El uso del control estadístico de procesos lleva implícitas algunas hipótesis que describiremos a continuación:
1)Una vez que el proceso está en funcionamiento bajo condiciones establecidas, se supone que la variabilidad de los resultados en la medición de una característica de calidad del producto se debe sólo a un sistema de causas aleatorias, que es inherente a cada proceso en particular.
2) El sistema de causas aleatorias que actúa sobre el proceso genera un universo hipotético de observaciones (mediciones) que tiene una Distribución Normal.
3) Cuando aparece alguna causa asignable provocando desviaciones adicionales en los resultados del proceso, se dice que el proceso está fuera de control.
La función del control estadístico de procesos es comprobar en forma permanente si los resultados que van surgiendo de las mediciones están de acuerdo con las dos primeras hipótesis. Si aparecen uno o varios resultados que contradicen o se oponen a las mismas, es necesario detener el proceso, encontrar las causas por las cuales el proceso se apartó de su funcionamiento habitual y corregirlas.
Control Estadístico...Cómo ponerlo en marcha?
La puesta en marcha de un programa de control estadístico para un proceso en particular implica dos etapas:
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Antes de pasar a la segunda etapa, se verifica si el proceso está ajustado. En caso contrario, se retorna a la primera etapa:
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En la 1a etapa se recogen unas 100-200 mediciones, con las cuales se calcula el promedio y la desviación standard:
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Luego se calculan los Límites de Control de la siguiente manera:
[pic]
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Estos límites surgen de la hipótesis de que la distribución de las observaciones es normal. En general se utilizan límites de 2 sigmas ó de 3 sigmas alrededor del promedio. En la distribución normal, el intervalo de 3,09 sigmas alrededor del promedio corresponde a una probabilidad de 0,998.
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Entonces, se construye un gráfico de prueba y se traza una línea recta a lo largo del eje de ordenadas (Eje Y), a la altura del promedio (Valor central de las observaciones) y otras dos líneas rectas a la altura de los límites de control:
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En este gráfico se representan los puntos correspondientes a las observaciones con las que se calcularon los límites de control:
[pic]
Este gráfico de prueba se analiza detenidamente para verificar si está de acuerdo con la hipótesis de que la variabilidad del proceso se debe sólo a un sistema de causas aleatorias o si, por el contrario, existen causas asignables de variación. Esto se puede establecer porque cuando la fluctuación de las mediciones se debe a un sistema constante de causas aleatorias la distribución de las observaciones es normal:
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Cuando las observaciones sucesivas tienen una distribución normal, la mayor parte de los puntos se sitúa muy cerca del promedio, algunos pocos se alejan algo más y prácticamente no hay ninguno en las zonas más alejadas:
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[pic]
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Si no se descubren causas asignables entonces se adoptan los límites de control calculados como definitivos, y se construyen cartas de control con esos límites:
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Si sólo hay pocos puntos fuera de control (2 ó 3), estos se eliminan, se recalculan la media, desviación standard y límites de control con los restantes, y se construye un nuevo gráfico de prueba. Cuando las observaciones no siguen un patrón aleatorio, indicando la existencia de causas asignables, se hace necesario investigar para descubrirlas y eliminarlas. Una vez hecho esto, se deberán recoger nuevas observaciones y calcular nuevos límites de control de prueba, comenzando otra vez con la primera etapa.
En la 2a etapa, las nuevas observaciones que van surgiendo del proceso se representan en el gráfico, y se controlan verificando que estén dentro de los límites, y que no se produzcan patrones no aleatorios:
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Como hemos visto, el 99,8 % de las observaciones deben estar dentro de los límites de 3,09 sigmas alrededor de la media. Esto significa que sólo 1 observación en 500 puede estar por causas aleatorias fuera de los límites de control. Entonces, cuando se encuentra más de 1 punto en 500 fuera de los límites de control, esto indica que el sistema de causas aleatorias que provocaba la variabilidad habitual de las observaciones ha sido alterado por la aparición de una causa asignable que es necesario descubrir y eliminar.
En ese caso, el supervisor del proceso debe detener la marcha del mismo e investigar con los que operan el proceso hasta descubrir la o las causas que desviaron al proceso de su comportamiento habitual. Una vez eliminadas las causas del problema, se puede continuar con la producción normal.

Control Estadístico de Procesos
Gráficos X-R

Los gráficos X-R se utilizan cuando la característica de calidad que se desea controlar es una variable continua.
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Para entender los gráficos X-R, es necesario conocer el concepto de Subgrupos (o Subgrupos racionales). Trabajar con subgrupos significa agrupar las mediciones que se obtienen de un proceso, de acuerdo a algún criterio. Los subgrupos se realizan agrupando las mediciones de tal modo que haya la máxima variabilidad entre subgrupos y la mínima variabilidad dentro de cada subgrupo. Por ejemplo, si hay cuatro turnos de trabajo en un día, las mediciones de cada turno podrían constituir un subgrupo.
Supongamos una fábrica que produce piezas cilíndricas para la industria automotriz. La característica de calidad que se desea controlar es el diámetro de las piezas.
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Hay dos maneras de obtener los subgrupos. Una de ellas es retirar varias piezas juntas a intervalos regulares, por ejemplo cada hora:
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La otra forma es retirar piezas individuales a lo largo del intervalo de tiempo correspondiente al subgrupo:
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[pic]
[pic]
.....Etc.
Por cualquiera de los dos caminos, obtenemos grupos de igual número de mediciones. Para cada subgrupo calculamos el Promedio y el Rango (Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo).
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[pic]
[pic]
Como ya se ha visto, para calcular los Límites de Control es necesario obtener un gran número de mediciones, divididas en subgrupos. En nuestro ejemplo, podríamos obtener 30 subgrupos de 6 datos cada uno:
[pic]
Después de calcular el Promedio y el Rango de cada subgrupo, tendríamos una tabla como la siguiente:
[pic]
A partir de esta tabla, se calculan el promedio general de promedios de subgrupo y el promedio de rangos de subgrupo:
[pic]
[pic] Promedio de Subgrupo
N Número de Subgrupos o también:
[pic]
[pic] Mediciones individuales
N Número de Subgrupos n Número de mediciones dentro del Subgrupo
[pic]
[pic] Rango del Subgrupo
La desviación standard del proceso se puede calcular a partir del rango promedio, utilizando el coeficiente d2, que depende del número de mediciones en el subgrupo:
[pic]
Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico de X:
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[pic]
[pic]
La desviación standard del rango se puede calcular utilizando el coeficiente d3, que también depende del número de mediciones en el subgrupo:
[pic]
Y así podemos calcular los Límites de Control para el Gráfico de R:
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[pic]
[pic]
La tabla siguiente muestra los coeficientes d2 y d3 para subgrupos de hasta 10 mediciones:
[pic]
Construímos entonces un Gráfico X de prueba y representamos los promedios de los subgrupos:
[pic]
Y un Gráfico R de prueba, donde representamos los rangos de los subgrupos:
[pic]
Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura.

Control Estadístico de Procesos
Gráficos np

Muchas características de calidad se evalúan dando resultados como: conforme o disconforme, defectuoso o no defectuoso. Estas características de calidad se conocen como atributos. Supongamos un proceso que fabrica tornillos. Una manera de ensayar cada tornillo sería probarlo con una rosca calibrada.
El resultado de este ensayo sólo tiene dos posibles resultados: Defectuoso-No Defectuoso (ó Conforme-Disconforme ).
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Si el tornillo no entra en la rosca, se lo considera defectuoso o disconforme.
Para controlar este proceso, se puede tomar una muestra de tornillos y contar el número de defectuosos presentes en la muestra.
[pic]
La variable aleatoria número de defectuosos es una variable aleatoria discreta, porque puede tomar un número finito de valores, o infinito numerable. Los gráficos np se utilizan para controlar el número de defectuosos en una muestra.
Entonces, para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la línea de producción y cada hora retira una muestra de n=50 tornillos (por ejemplo), comprueba cada uno con la rosca y anota el número de defectuosos.
[pic]
Este resultado se anota en un gráfico hora por hora y se denomina gráfico np.
Si se tomara del proceso un sólo tornillo ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Imaginando la población de tornillos que podría fabricar el proceso trabajando siempre en las mismas condiciones, una cierta proporción p de estos serían defectuosos. Entonces, la probabilidad de tomar un tornillo y que sea defectuoso es p.
En una muestra de n tornillos, la probabilidad de encontrar: • 0 defectuosos • 1 defectuoso • 2 defectuosos • ... • n defectuosos está dada por una distribución binomial con parámetros n y p.
Como sabemos, el promedio de la población es p y la varianza es n.p.(1-p).
Para construir los gráficos de control np, en una primera etapa se toman N muestras (más de 20 ó 25) a intervalos regulares, cada una con n tornillos. Se cuenta en cada muestra el Número de Defectuosos y se registra. Se obtendría una Tabla como la siguiente:
|Muestra |Nº Defectuosos |
|1 |3 |
|2 |2 |
|3 |4 |
|4 |3 |
|5 |4 |
|6 |2 |
|7 |5 |

En cada muestra, la fracción de defectuosos es:
[pic]
[pic] Nº Defectuosos en muestra i n Nº elementos en la muestra
Entonces, a partir de la tabla podemos calcular p como promedio de las fracciones de defectuosos en las muestras:
[pic]
N N° muestras y luego la Desviación Standard s:
[pic]
Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico np:
[pic]
[pic]
[pic]
Construímos entonces un Gráfico np de prueba y representamos el número de defectuosos en las muestras:
[pic]
Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura.
Control Estadístico de Procesos
Gráficos C y U

En algunos procesos interesa medir la cantidad de defectos que presentan las unidades de producto que se están fabricando. Por ejemplo, se fabrican teléfonos celulares y entonces se toma uno de ellos y se cuenta el número total de defectos. Estos podrían ser: • Rayaduras en la superficie. • Rajaduras en el plástico • Antena defectuosa • Botón defectuoso. • Etc.
Los defectos pueden ser de diferentes tipos y se cuenta el total de todos estos defectos en la unidad inspeccionada. Obtenemos un resultado que es el Número de Defectos por unidad de inspección.
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A medida que el proceso genera las unidades (Teléfonos celulares), retiramos una unidad a intervalos regulares y contamos el número total de defectos. En cada unidad podemos encontrar: • 0 defectos • 1 defecto • 2 defectos • 3 defectos • ... • n defectos
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Los resultados que obtenemos al contar el Número de Defectos en unidades de inspección retiradas a intervalos regulares constituyen una variable aleatoria discreta, porque puede tomar valores 0, 1, 2, 3, ... n.
Esta variable aleatoria tiene una distribución de Poisson:
[pic]
[pic]
Los gráficos C se utilizan para controlar el número de defectos en una muestra del producto o unidad de inspección. Entonces, para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la línea de producción y cada hora retira una unidad de inspección (En este caso un teléfono celular), verifica y anota el número total de defectos.
[pic]
Este resultado se anota en un gráfico hora por hora y se denomina gráfico C. De acuerdo a la Distribución de Poisson, si denominamos C al parámetro de la función de distribución, el promedio de la población es C y la varianza también es C.
Para construir los gráficos de control C, en una primera etapa se toman N unidades de inspección (más de 25 ó 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de inspección el Número de Defectos y se registra. Se obtendría una Tabla como la siguiente:
|Unidad de |Núm. Defectos |
|Inspección | |
|1 |3 |
|2 |2 |
|3 |4 |
|4 |0 |
|5 |1 |
|6 |1 |
|7 |5 |
|8 |2 |

Entonces, a partir de la tabla podemos calcular C como promedio del Número de Defectos en las muestras (Unidades de Inspección):
[pic]
ni Cantidad de Defectos por Unidad de Inspección
N Número de Unidades de Inspección y luego la Desviación Standard:
[pic]
Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico C:
[pic]
[pic]
[pic]
En caso de que el Límite Inferior de Control resulte negativo, se le asigna valor cero. Construímos entonces un Gráfico C de prueba y representamos el número de defectos en las muestras:
[pic]
Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura.
Otro ejemplo sería controlar el número de defectos a la salida de una línea de ensamblado de licuadoras. De igual manera podría ser una línea de ensamblado de computadoras personales, cafeteras automáticas, televisores, etc.
Cuando se fabrican pinturas y barnices, un ensayo muy común es hacer un extendido sobre una placa de vidrio, dejar secar el producto y luego inspeccionar los defectos en la superficie. Se pueden aplicar los gráficos C para controlar este tipo de procesos, contando el número de defectos sobre la superficie del recubrimiento.
En la industria textil también es necesario controlar defectos superficiales en las telas. Se pueden aplicar los gráficos C para controlar el número de defectos sobre la superficie de un área rectangular de tela.
Muchas veces ocurre que las unidades que produce el proceso presentan una tasa de defectos muy baja. Por ejemplo, supongamos un proceso automatizado que fabrica tarjetas de sonido. A la salida del mismo se inspecciona una tarjeta a intervalos de media hora y se cuenta el número de defectos. El resultado seguramente será algo como esto:
|Tarjeta |Núm. Defectos |
|1 |0 |
|2 |0 |
|3 |0 |
|4 |0 |
|5 |0 |
|6 |1 |
|7 |0 |
|8 |0 |
|etc |- |

Esto se debe a que la fabricación se realiza por medio de un proceso totalmente automatizado donde ocurren pocos errores. Por lo tanto, el promedio de defectos será cercano a cero y el Límite Inferior de Control seguramente será negativo. Para evitar esto, es conveniente redefinir la Unidad de Inspección. Por ejemplo, se puede tomar como unidad de inspección la cantidad de 100 tarjetas de sonido. Es decir, cada media hora se retiran del proceso 100 tarjetas y se cuentan los defectos del total de las mismas. De esta manera la cantidad de defectos promedio por unidad de inspección será mas alta. Y es posible también que el LIC sea mayor que cero.
Supongamos que se está controlando el número de defectos en un proceso de ensamblado de licuadoras y se define una unidad de inspección de 5 licuadoras. En este caso es posible trabajar con un gráfico C, como ya hemos visto. Pero tal vez se desea controlar el promedio de defectos por cada licuadora (unidad de producción) en lugar de el total de defectos para las 5 licuadoras (unidad de inspección):
[pic]
ni Cantidad de Defectos por Unidad de Inspección m Núm. de Unidades de Producción en la Unidad de Inspección
En nuestro ejemplo, si encontramos ni defectos en la unidad de inspección (5 licuadoras), la cantidad promedio de defectos por licuadora será:
[pic]
Se debe tener en cuenta que x es una nueva variable aleatoria discreta que toma valores 0, 1/m, 2/m, 3/m, 4/m, .....etc., y cuya distribución de probabilidades se puede calcular a partir de la Distribución de Poisson.
Como en el caso de los gráficos C, en una primera etapa se toman N unidades de inspección (más de 25 ó 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de inspección el Número de Defectos y se registra. Luego se divide el Número de Defectos de cada unidad de inspección por m (Número de unidades de producción en cada unidad de inspección).
En nuestro ejemplo (m = 5) la Tabla quedaría así:
|Unidad de |Núm. Defectos |Núm. Defectos por |
|Inspección | |Licuadora |
|1 |5 |1.0 |
|2 |8 |1.6 |
|3 |6 |1.2 |
|4 |10 |2.0 |
|5 |5 |1.0 |
|6 |15 |3.0 |
|7 |12 |2.4 |
|8 |5 |1.0 |

Entonces, a partir de la tabla podemos calcular el parámetro U como promedio del Número de Defectos por licuadora:
[pic]
ni Cantidad de Defectos por Unidad de Inspección m Núm. de Unid. de Producción en la Unidad de Inspección
N Número de Unidades de Inspección y luego la Desviación Standard:
[pic]
Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico U:
[pic]
[pic]
[pic]