Problemas:

Tipos: Puntual

Inferencia Estadística

Estimación (tema 3) Por Intervalos

Contraste de Hipótesis

Paramétrico (Temas 4 y 5) No Paramétrico (Tema 6)

TEMA 3: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
• Consiste en la obtención de valores aproximados para las características desconocidas (parámetros) de la distribución poblacional. • Tipos de estimación: - Puntual: un valor. Apartado 1 - Por intervalos: un intervalo con garantías de contener al parámetro. Apartado 2

• Estimadores y Estimaciones:

1) ESTIMACIÓN PUNTUAL
Estadísticos Estimadores de θ

• Estrategias de búsqueda de estimadores de un parámetro θ: - Proponer estimadores con buenas propiedades (sub-apartado a). - Aplicar un método de construcción de estimadores: Estimadores MáximoVerosímiles (EMV) (sub-apartado b).

Para elegir entre diferentes estimadores para estimar un mismo parámetro θ nos basaremos en una medida, el ERROR CUADRÁTICO MEDIO (ECM): 2 ˆ ˆ ˆ ⎡θ ⎤ = Var ⎡θ ⎤ + E ⎡θ ⎤ - θ El criterio: elegir el estimador que ECM ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ tenga el menor ECM. 2 sesgo

(

)

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PARA TODO TIPO DE MUESTRAS:
ESTIMADOR INSESGADO significa que su media o valor esperado coincide con el parámetro θ, esto es:

ˆ ˆ E ⎡θ ⎤ = θ y por lo tanto, su sesgo=E ⎡θ ⎤ - θ = 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ ˆ ˆ Consecuencia: Si θ es insesgado, entonces ECM ⎡θ ⎤ = Var ⎡θ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ESTIMADOR EFICIENTE: si para estimar un mismo parámetro, disponemos de varios estimadores insesgados, el estimador eficiente será el de menor varianza.

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ θ1 y θ 2 insesgados. Si Var ⎡θ1 ⎤ < Var ⎡θ 2 ⎤ entonces, θ1 es más eficiente que θ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

,7

Distribuciones de probabilidad de dos estimadores A y B de un parámetro poblacional θ Caso 1: A y B misma varianza Caso 2: A y B estimadores insesgados
1,4 1,2

,6

,5

1,0

,4

,8

f(B)
,3

f(A)
,6

f(B)

,2

,4

f(A)
,1 ,2 0,0 0,0

E[B] E[A]=θ A estimador insesgado E[A]=θ B estimador sesgado E[B]≠θ Var[A] = Var[B] ECM[A] < ECM[B] A mejor estimador que B

θ
A y B insesgados E[A]=E[B]=θ Var[A] > Var[B] ECM[A] > ECM[B] B mejor estimador que A

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PARA MUESTRAS GRANDES: ESTIMADOR ASINTÓTICAMENTE INSESGADO significa que al aumentar el tamaño de la muestra, su media tiende a coincidir con el parámetro θ, y por lo tanto, su sesgo tiende a cero. ˆ Esto es, lim E ⎡θ ⎤ =θ ⎣ ⎦ n →∞

ESTIMADOR CONSISTENTE significa que a medida que crece el tamaño de la muestra las estimaciones que nos proporciona el estimador se aproximan cada vez más al valor del parámetro θ . Si el estimador es insesgado o asintóticamente insesgado, para que sea consistente es suficiente que, cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito (es decir, se hace muy grande), la varianza del estimador se aproxime a cero. Esto es,

ˆ lim Var ⎡θ ⎤ =0 ⎣ ⎦ n →∞

Ejemplo de estimador consistente
1,4 1,2

1,0

,8

ˆ f(θ n =1000 )

,6

,4

,2

ˆ f(θ n =100 )

0,0

θ Al crecer el tamaño de la muestra, las estimaciones ˆ de θ se aproximan cada vez más al verdadero valor del parámetro.

CUADRO RESUMEN ESTIMADORES PUNTUALES Distribución Población Poisson X∼Po(λ) Bernouilli X∼Be(p) Normal 2 X∼ N(μ, σ ) Normal 2 X∼ N(μ, σ ) Sin especificar Sin especificar Parámetro a estimar Estimador Propiedades estimador insesgado, eficiente, consistente insesgado, eficiente, consistente insesgado, eficiente, consistente asint. insesgado, menor ECM que cuasi-var S 2 insesgado, consistente

Otras propiedades EMV EMV EMV EMV

λ p μ σ2 μ σ2

X

ˆ p=x
X
S2

X
S2 S2

asint. insesgado insesgado

EMV= Estimador máximo-verosímil