Indhold Analytisk Geometri 2 Geometrisk sted 2 Afstandsformlen 2 Bevis for afstandsformlen 3 Tilfælde 1 3 Tilfælde 2 3 Cirklen 4 Cirklens ligning 4 Eksempel 5 Punktmængder og analytisk geometri - Opgaver 5 Punktmængder 5 Analytisk geometri og afstandsformlen 6 Cirklens ligning 6 Kvadratsætningerne 7 Eksempel 7 Eksempel 2 8

Analytisk Geometri

Et geometrisk sted er en punktmængde (dvs. område) i et koordinatsystem, (der opfylder et bestemt kriterium)
Geometrisk sted
Punktmængde i et koordinatsystem som opfylder et bestemt kriterium.

M=x,y4≤x≤7 ∧2≤y≤3}

Afstandsformlen
Afstanden mellem to punkter Ax1, y1 og Bx2 , y2 er givet ved AB=X2-X12+Y2-Y1

Bevis for afstandsformlen

Tilfælde 1 x1≠x2 og y1≠y2

Vi konstruerer ∆ABC der er ret i C Vi kan derfor benytte Pythagoras AC=y2-y1
BC=|x2-x1|
AC2+BC2=AB2 y2-y12+x2-x12=AB2 y2-y12+x2-x12=AB2 y2-y12+x2-x12=AB Det vigtigste trick i beviset er, at genkende den retvinklede trekant, derefter kommer vi over i det regnetekniske (Pythagoras)

Tilfælde 2 x1≠x2 y1=y2
Længden af linjestykket

|AB|=|x2-x1|
⇓
AB2=x2-x12
⇓
AB2=x2-x12+y2-y12
⇓
AB=x2-x12+y2-y12 Cirklen

C = centrum r = Radius
Cirkelperiferien er defineret som de punkter der har afstanden r fra centrum Cxo,yo
Når man bruger centrum som punktmængde bruger man et ”krøllet C = C ”
C=Px,y cp=r}

Cirklens ligning
Vi har en cirkel med centrum C(xo,yo) og radius r

For de punkter Px,yder ligger på cirklen gælder der at afstanden til centrum er lig radius

CP=r
⇓
x-xo2y-yo2=r (vi sætter 2 for at opløse kvadratroden)
⇓
------------------------------------------------- x-xo2y-yo2=r2 = Cirklens ligning
Eksempel

C' er en cirkel med centrum C3,2 og radius r=3

C':x-32+y-22=32 Her har vi en cirkel hvor vi kender radius og begge punkter.
C2:(x-2)2+y+12=16 Her havde vi en ligning, som vi fandt radius og begge punkter
(se ligning nedenfor) x-22+y--12=42 Centrum C2,-1 og radius r=4
Punktmængder og analytisk geometri - Opgaver
Punktmængder
1) Skitser følgende punktmængder
M=x,y1≤x≤3∧2≤y≤4}

l={(x,y)|x+y=1}

m={(x,y)|y=2x-1}

N={(x,y)|-3≤x≤1∧2x≤y≤-x2+3}

N=x,y-3=⋀2x=y≤y≤-x2+3

x=1 y=-12+3=2 x=-1 y=--12+3=2 x=-2 y=--22+3=-1 x=-3 y=--32+3=-6 2) Overvej om kravet på x koordinaten i N er en nødvendig oplysning, eller er den overflødig 3) Konstruer selv 3 punktmængder og tegn en skitse af din punktmængde
Analytisk geometri og afstandsformlen 1) Regn opgave 1201, 1202, 1203 og 1204 s. 153 i opgavebogen

2) Se på beviset for afstandsformlen s. 268 i Mat B1 bogen. a. Hvad siger afstandsformlen? b. Angiv med egne ord, de vigtigste pointer i de tre tilfælde i beviset for afstandsformlen.
Cirklens ligning 1) Hvad er definitionen på cirkelperiferien 2) Hvordan lyder cirklens ligning 3) ------------------------------------------------- x-xo2y-yo2=r2 = Cirklens ligning

4) Løs opgaverne 1212 og 1213 s. 155
Opgaver i bogen = MAT AB1 af Jens Carstensen = 1213 s. 155
Bestem centrum C og radius r for de cirkler, der fremstilles ved følgende ligninger. 1. x2+y2-4x-4y=-4y x-22-4y-22-4=-4 x-22+y-22=4 2. x2+y2+10x-4y=-13
Skriv ligningen her.

Kvadratsætningerne 1. a+b2=a2+b2+2ab

2. a-b2=a2+b2-2ab

3. a+ba-b=a2-b2
Særtilfælde
4. x-a2=x2-2ax+a2 y-b2=y2-2by+b2 Eksempel Vi ser på særtilfældet x-a2=x2-2ax+a2 y-b2=y2-2by+b2

1. en cirkel har ligningen x2-2x+y2+4y-2o=o Her ligger vi til på begge side for at få den til at ligne en kvadratsætning (særtilfældet) x2-2x+1+y2+4y+4-20=1+4 x-12+y+22-20=5 x-12+y+22=25 Dvs. der er en cirkel med centrum i C1 ,-2 og radius r=25=5

Eksempel 2 x2-6x+y2-6y2-6y+18=0 x2-6x+9+y2-6y+9+18=9+9 x-32+y-32+18=18 x-32+y-32=0
Dvs. løsningsmængden består af punkt: P3,3 Eksempel 3 (en anden måde at gøre det på) x2+4x+y2+2y+23=0 x+22-4+y+12-1+23=0 x+22+y+12=-1 Der er ingen løsninger
Dvs. løsningsmængde L=ø